Презентация, доклад по математике на тему: Комплексные числа

числом называется символ вида ,
где и - действительные числа, а – мнимая единица.
Числа вида отождествляются с действительными числами, в частности .
Числа вида называются чисто мнимыми.
Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой частями числа и обозначаются: , .
Под модулем комплексного числа понимается неотрицательное число
Сопряженным числом к числу называется комплексное число .

На множестве комплексных чисел определено отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Пусть , . Тогда .
.
.

, ( ).

Геометрическая интерпретация комплексного числа

В прямоугольной системе координат комплексные числа
изображают точкой плоскости с координатами . На оси абсцисс откладывают действительные части, а на оси ординат – мнимые части комплексного числа. При этом действительные числа будут изображаться точками оси абсцисс, которую поэтому называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью. Каждой точке плоскости с координатами соответствует радиус-вектор началом в точке и концом в точке .

свойства:
Длина вектора равна .
Точки и симметричны относительно действительной оси.
Точки и симметричны относительно точки .
Число изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов и (Рис.1).

Поэтому комплексное число можно изображать вектором с началом в точке и концом в точке .

Рис.2

- z2

0

z2

y

z1

x

, представляет собой внешние точки окружности с центром в точке и радиусом .

Множество точек , удовлетворяющих уравнению , есть окружность
с центром в точке и радиусом .

Множество точек, удовлетворяющих неравенству , представляет собой верхнюю полуплоскость, так как из неравенства следует .

x

y

0

y

0

x

y

b

0

a

x

следует, что с каждым числом связан радиус-вектор .
Угол, образованный радиусом-вектором точки с осью , называется аргументом этой точки, где .
Для нулевой точки аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение называется главным значением его и обозначается через .
Для аргумента из определения тригонометрических функций имеем (Рис.3)

Рис.3

y

0

x

b

z

тригонометрической форме

Операции умножения, возведения в степень, деления и извлечения корней из комплексных чисел удобнее проводить в тригонометрической форме.
Пусть , .
.
– формула Муавра.


где .

Следовательно, имеет n корней. Точки, изображающие все корни, являются вершинами n - угольника, вписанного в окружность с центром в точке и радиусом .

и в алгебраической форме: . Будем искать корни в виде
. Имеем: .
Из равенства двух комплексных чисел следует, что

Получим два решения .
 

Задания для самостоятельной работы.
1. Ответить на вопросы:
Как выглядит показательная форма комплексного числа?
Какие арифметические операции удобнее осуществлять в показательной форме комплексного числа?
Как перейти к показательной форме комплексного числа?
2. Вычислить
3. Для комплексных чисел и найти в

тригонометрической и показательной форме а) , б) , в) , г) .
4. Решите уравнение .