Презентация, доклад по математике на тему Комбинаторные конструкции

множество символов. Эти символы будем называть буквами, а все множество букв – алфавитом.
Слово – это последовательность букв данного алфавита.
Длина слова – число букв в данном слове.
Например, алфавит Азбуки Морзе состоит из двух символов : точка • и тире −.
Построение слов:
Слово длины 1 Слово длины 2 Слово длины 3

Каждая буква алфавита может быть использована один раз, несколько раз или ни разу

букв

В слове длины k имеется k мест. На первое ставим любую из n букв. При заполнении очередного места число возможностей увеличивается в n раз.
Ответ:

Число слов длины k в алфавите из n букв равно

Пример. Двухбуквенные слова в алфавите из трех букв

различаем порядок мест – первое, второе и т.д. Заполнить ряд – значит поместить на каждом его месте какой- либо объект из данного множества (каждый объект должен использовать лишь один раз).
Ряд, заполненный объектами данного множества, называют размещением. Пусть число объектов в множестве равно n, а длина ряда (число мест в нем) равна k.

раз, в данной задаче, поместив какой-либо объект на определенное место, мы забираем его из множества (мешка с объектами) и его больше у нас нет (вторично он появиться не может).
На первое место ставим любой из n объектов. На каждом следующем шаге число возможностей уменьшается на единицу.
Ответ:

Задача 2. Подсчитать число размещений n объектов на k местах.

Обратите внимание, что последний множитель равен n-(k-1)=n-k+1. Заметим, что если k>n, то один из множителей будет равен нулю, поскольку нельзя n объектами занять число мест, большее, чем n.

k последовательных целых чисел, наибольшее из которых равно n.

порядку, т.е. упорядочить. Это можно сделать, занумеровав объекты. Упорядоченный набор объектов называется перестановкой.
Задача 3. Подсчитать число перестановок n объектов.
Ясно, что эта задача совпадает с задачей о размещениях в том случае, когда число объектов совпадает с числом мест – мы расставляем все n объектов, используя n имеющихся мест. Аналогично задаче 2 получаем ответ

Так как число множителей равно n, то последним будет число 1. Удобно переставить множители и записать результат в виде произведения всех натуральных чисел от 1 до n:

формулу, не выяснять, «на что» дана задача (размещения, перестановки). Следует проанализировать конструкцию, способ составления и перечисления вариантов.

Двоичные ответы. Человеку задают 10 вопросов. На каждый из них он отвечает «да» или «нет». Сколько имеется различных вариантов ответов на все 10 вопросов?
Для ответа на первый вопрос есть 2 варианта. Если уже построены ответы на несколько вопросов, то ответ на следующий удвоит число вариантов.
Ответ: . Разумеется в этой задаче встретилась конструкция построения слов в алфавите из 2 букв.

На каждый вопрос надо дать один из предложенных 5 вариантов ответа. Сколько имеется различных ответов на все 6 вопросов теста?
Для ответа на первый вопрос есть 5 вариантов ответа. При переходе к очередному вопросу число вариантов будет увеличиваться в 5 раз.
Ответ: . Конструкция сохранилась. Изменилось число букв в алфавите – теперь их стало 5.

построить слов длиной 3 с неповторяющимися буквами?
На первое место ставим любую из 10 букв, на второе – любую, кроме той, которая уже взята первой. Получаем 10*9 вариантов. На трете место можно поставить любую из 8 неиспользованных букв.
Ответ: 10*9*8 = 720. Использована конструкция размещений – на тех местах размещали без повторений 10 букв.
4. Анаграммы слова с различными буквами (Анаграмма – слово с переставленными буквами). Сколько существует анаграмм для слова КАТЕР?
Все пять букв этого слова разные. Переставить 5 букв можно 5! способами.
Ответ: