Презентация, доклад по математике на тему Геометрическое и физическое приложение неопределенного интеграла

применять неопределенный интеграл при составлении уравнений кривых при известном угловом коэффициенте, при решении физических задач на определение уравнения движения тела.

ее первообразных y=F(x)+C, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым C.
С может принимать любые числовые значения, если на первообразную функцию не наложено никаких начальных условий.
Чтобы из множества первообразных функций выделить одну определенную функцию, должны быть заданы начальные условия.
Начальные условия – это задание частных значений x и y для первообразной функции y=F(x)+C, по которым находится определенное значение С, удовлетворяющее этим начальным условиям.

эта функция принимает значение, равное 6.

Решение.

первообразной функции равно 6.

Решение.

конкретную точку.

Вспомним:
Наклон k кривой y=(x) – угловой коэффициент касательной – это тангенс угла наклона касательной к этой кривой в данной точке. Он равен значению производной в этой точке: k=y′.
Обратная задача:
Зная наклон k кривой в любой ее точке как функцию абсциссы этой точки: k=f(x), найти уравнение кривой.

Получили уравнение, содержащее произвольную постоянную С.

которых отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми.
Графики функций, получающихся в результате интегрирования, называются интегральными кривыми.
Каждый интеграл дает семейство интегральных кривых. Интегральные кривые одного семейства имеют одну и ту же форму и смещены друг относительно друга по вертикали. Сдвиг кривой зависит от постоянной С.
Из семейства этих кривых, имеющих один и тот же наклон, нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.

(x;y) равен 2x.

Решение.
k=2x

Мы нашли семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной в любой точке равен 2x. Эти кривые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С. При С=0 получим параболу y=x² с вершиной в начале координат, при С=1 – параболу y=x²+1 с вершиной в точке (0;1), при С=-2 – параболу y=x²-2 с вершиной в точке (0;-2) и т.д.

касания равен y/x.

Решение.
k=y/x

Потенцируя, получим: y=Cx – уравнение семейств прямых, проходящих через начало координат.

в любой точке кривой имеет угловой коэффициент, равный ординате точки касания.

Решение.

его движения.

Вспомним (из дифференциального исчисления):
V=S′(t) – скорость движущегося тела
a(t)=V′(t)=S′′(t) – ускорение движущегося тела
S(t) – путь
Тогда закон движения тела S(t) по заданной скорости можно найти интегрированием, а по заданному ускорению – двукратным интегрированием.

Найти закон ее движения.

Решение.

закон ее движения S, если за время t=2с точка прошла 20м.

Решение.

если в начальный момент движения тело находилось в покое.

Решение.

(начало отсчета) начальная скорость V0=9м/с; расстояние от начала отсчета S0=10м. Найти: 1) скорость и закон движения точки; 2) значения ускорения, скорости и пути в момент t=2с; 3) момент, когда скорость является наименьшей.
Решение.
1)

и минимум:

Следовательно, скорость является наименьшей при t=2 с.