Презентация, доклад по математике Комбинаторные задачи с решением

Содержание

- раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.о

Слайд 1Комбинаторные задачи

Комбинаторные задачи

Слайд 2- раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных

комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

о


- раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям,

Слайд 3Перебор вариантов
Основной вопрос комбинаторики — «сколько?»,
основная задача — подсчёт числа

элементов конечного множества. В комбинаторных задачах нас обычно интересует, сколько комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из заданного конечного набора объектов.
В простейших случаях мы можем выписать все нужные нам комбинации и непосредственно подсчитать их.
При переборе вариантов желательно придерживаться двух правил.
1. Обозначаем наши комбинации буквами или цифрами так, что каждая комбинация будет обозначена своей уникальной последовательностью букв или цифр.
2. Выписываем комбинации в алфавитном порядке (при обозначении буквами) или по возрастанию чисел (при обозначении цифрами). При таком переборе ни один вариант не ускользнёт от нас и, с другой стороны, будет исключена возможность повторения вариантов.

Перебор вариантовОсновной вопрос комбинаторики — «сколько?», основная задача — подсчёт числа элементов конечного множества. В комбинаторных задачах

Слайд 4
Задача. Маша собирается съесть яблоко, сливу и мандарин, но пока не

решила, в какой последовательности. Сколькими способами Маша может выбрать эту последовательность?


Задача. Маша собирается съесть яблоко, сливу и мандарин, но пока не решила, в какой последовательности. Сколькими способами

Слайд 5
Задача. Маша собирается съесть яблоко, сливу и мандарин, но пока не

решила, в какой последовательности. Сколькими способами Маша может выбрать эту последовательность?

Решение. Обозначаем буквами:
Я — яблоко, С — слива, М — мандарин.

Тогда, например, СМЯ — это вариант, когда Маша сначала съест сливу, потом — мандарин, потом — яблоко.

Выпишем варианты в алфавитном порядке: МСЯ, МЯС, СМЯ, СЯМ, ЯМС, ЯСМ. Получилось 6 вариантов.

Задача. Маша собирается съесть яблоко, сливу и мандарин, но пока не решила, в какой последовательности. Сколькими способами

Слайд 6
Задача. Сколько существует четырёхзначных чисел, сумма цифр которых меньше 4?



Задача. Сколько существует четырёхзначных чисел, сумма цифр которых меньше 4?

Слайд 7
Задача. Сколько существует четырёхзначных чисел, сумма цифр которых меньше 4?


Решение.

Здесь обозначать нечего — мы и так имеем дело с числами.
Остаётся лишь выписать по возрастанию все четырёхзначные числа, сумма цифр которых равна 1, 2 или 3:
1000, 1001, 1002, 1010, 1011, 1020, 1100, 1101, 1110, 1200, 2000, 2001, 2010, 2100, 3000.
Всего получилось 15 чисел.

Задача. Сколько существует четырёхзначных чисел, сумма цифр которых меньше 4? Решение. Здесь обозначать нечего — мы и

Слайд 8

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных

таблиц и схем.

Задача   Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?


Задача   В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.
Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.Задача   Сколько двузначных

Слайд 9

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных

таблиц и схем.

Задача   Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
Ответ: 25


Задача   В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.
Ответ: Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов. Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов. Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов. Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов. Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов. Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.
Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.Задача   Сколько двузначных

Слайд 10Задача В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня,

Оля, Наташа, Света. Сколько танцевальных пар девочка-мальчик могут образоваться?

Ответ:  1) Таня - Петя,
2) Таня - Коля,
3) Таня - Витя,
4) Таня - Олег,
5) Оля - Петя,
6) Оля - Коля,
7) Оля - Витя,
8) Оля - Олег,
9) Наташа - Петя,
10) Наташа - Коля,
11) Наташа - Витя,
12) Наташа - Олег,
13) Света - Петя,
14) Света - Коля,
15) Света - Витя,
16) Света - Олег.

Задача В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Сколько танцевальных

Слайд 11Задача В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня,

Оля, Наташа, Света. Сколько танцевальных пар девочка-мальчик могут образоваться?


Задача В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Сколько танцевальных

Слайд 12



Задача Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?













 

Задача Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4? 

Слайд 13



Задача Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?
Решение. Построим

дерево возможных вариантов













 
Ответ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Задача Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?Решение. Построим дерево возможных вариантов  Ответ: 200, 202,

Слайд 14



Задача Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап

пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?
 













Задача Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде

Слайд 15



Задача Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап

пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе - А, на байдарках - Б, велосипедах - В, пешком - Х, на канатной дороге - К.
 











Ответ: На рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.


Задача Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде

Слайд 16



Задача  Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов:

математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.
 














Задача  Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский

Слайд 17



Задача  Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов:

математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М - математика, Р - русский язык, И - история, А - английский язык, Ф - физкультура.
 













Ответ: Всего 24 возможных варианта

Задача  Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский

Слайд 18



Задача   Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним

одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки. а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому? б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках? в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?
 












Задача   Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого

Слайд 19



Задача   Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним

одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки. а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому? б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках? в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б - брюки, Д - джинсы, С - серая рубашка, Г - голубая рубашка, З - зеленая рубашка, Р - рубашка в клетку, Т - туфли, К - кроссовки.
 











Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.

Задача   Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого

Слайд 20
При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего

было рукопожатий?
Решение:
Для подсчета их удобно расположить треугольником:

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
23, 24, 25, 26, 27, 28
34, 35, 36, 37, 38
45, 46, 47, 48
56, 57, 58
67, 68
78
7+6+5+4+3+2+1=28
Ответ: всего было 28 рукопожатий.

При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий? Решение:Для подсчета

Слайд 21Задача. (Леонард Эйлер) Четыре гостя при входе в ресторан отдали швейцару

свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Невнимательный швейцар раздал шляпы случайным образом. Сколько существует вариантов, при которых каждый гость получил чужую шляпу?
Задача. (Леонард Эйлер) Четыре гостя при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили

Слайд 22Задача. (Леонард Эйлер) Четыре гостя при входе в ресторан отдали швейцару

свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Невнимательный швейцар раздал шляпы случайным образом. Сколько существует вариантов, при которых каждый гость получил чужую шляпу?

Решение. Занумеруем гостей цифрами 1, 2, 3, 4 и так же занумеруем их шляпы. Считаем, что шляпа с данным номером принадлежит гостю с этим же номером (то есть, например, шляпа 2 принадлежит гостю 2). Тогда каждый вариант получения шляп обозначается четырёхзначным числом, составленным из цифр 1, 2, 3 и 4, в котором номер позиции цифры есть номер гостя, а сама цифра есть номер полученной им шляпы (номера позиций будем считать слева направо).
Например, комбинация 4132 означает, что первый гость получил четвёртую шляпу, второй — первую, третий — третью, а четвёртый — вторую. Такой вариант не годится по условию, поскольку третий получил свою шляпу.
Теперь понятно, что нужно сделать — выписать по возрастанию все четырёхначные числа, содержащие по одной цифре 1, 2, 3 и 4, такие, что никакая цифра не стоит на позиции со своим номером.
Эти числа выписаны ниже под чертой. Красные цифры над чертой — номер позиции (номер гостя), с которым не должна совпадать цифра в соответствующем столбце (номер шляпы).


Как видим, всего имеется 9 вариантов нужной раздачи шляп. Вариантов может быть довольно много, но в некоторых случаях, тем не менее, самый быстрый способ решения задачи — разумно организованный перебор.

Задача. (Леонард Эйлер) Четыре гостя при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили

Слайд 23Задача. (Леонард Эйлер) Четыре гостя при входе в ресторан отдали швейцару

свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Невнимательный швейцар раздал шляпы случайным образом. Сколько существует вариантов, при которых каждый гость получил чужую шляпу?


Задача. (Леонард Эйлер) Четыре гостя при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили

Слайд 24Задача. «Высшая проба», 2013, 8кл.) Сколько одночленов окажется в многочлене после

раскрытия скобок и приведения подобных членов?
Задача. «Высшая проба», 2013, 8кл.) Сколько одночленов окажется в многочлене после раскрытия скобок и приведения подобных членов?

Слайд 25Задача. («Высшая проба», 2013, 8 ) Сколько одночленов окажется в многочлене

после раскрытия скобок и приведения подобных членов?

Решение. Раскроем скобки и (не приводя подобные члены) выпишем в таблицу все получающиеся степени одночленов. Первая строка таблицы — это степени, получающиеся при умножении первого многочлена-сомножителя на первое слагаемое второго многочлена (равное 1); вторая строка — это степени, получающиеся при умножении первого многочлена на второе слагаемое второго многочлена (равное t 5 ), и т. д.
Всего в таблице 77 чисел, из них 24 входят в таблицу более одного раза (блоки повторяющихся чисел обведены рамкой). Следовательно, после приведения подобных членов получится 77 − 24 = 53 одночлена.

Задача. («Высшая проба», 2013, 8 ) Сколько одночленов окажется в многочлене после раскрытия скобок и приведения подобных

Слайд 26
6 учеников сдают зачет по математике. Сколькими способами их можно расположить

в списке?


6 учеников сдают зачет по математике. Сколькими способами их можно расположить в списке?

Слайд 27
6 учеников сдают зачет по математике. Сколькими способами их можно расположить

в списке?

Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников,
вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников,
третьим - любой из оставшихся 4 учеников,
четвертым - любой из оставшихся 3 учеников,
пятым - любой из оставшихся 2 учеников,
шестым - последний 1 ученик.

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720.

Ответ: 720 способами.


6 учеников сдают зачет по математике. Сколькими способами их можно расположить в списке? Решение. Первым в списке

Слайд 28
Саша ходит в школу в брюках или джинсах,

к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого,

Слайд 29
Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.
Решение.

Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б - брюки, Д - джинсы, С - серая рубашка, Г - голубая рубашка, З - зеленая рубашка, Р - рубашка в клетку, Т - туфли, К - кроссовки.
Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня. Решение. Построим дерево возможных вариантов,

Слайд 30
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1,

3, 4, 6, 7, 8, 9?

Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Слайд 31Задача
(составление таблицы)
Для начинки пирога бабушка решила смешать два продукта. Сколько

различных пирогов может испечь бабушка, если для начинки у нее есть картофель (К), грибы (Г), яблоки (Я), мясо (М)?
Задача (составление таблицы)Для начинки пирога бабушка решила смешать два продукта. Сколько различных пирогов может испечь бабушка, если

Слайд 32Составление таблицы

Составление таблицы

Слайд 33Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд (одного первого, одного

второго, одного третьего), если в меню столовой имеется:
два первых блюда: щи (Щ), борщ (Б);
три вторых блюда: рыба (Р), гуляш (Г), плов (П);
два третьих блюда: компот (К), чай (Ч).

Задача
(«дерево» решений)

Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд (одного первого, одного второго, одного третьего), если в меню

Слайд 34Ответ
(«дерево» решений)
1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12
Ответ(«дерево» решений)1 2 3 4 5 6 7

Слайд 35 5 финалистов олимпиады по математике, решили обменяться впечатлениями о конкурсе

и позвонить друг другу. Сколько звонков будет сделано?


5 финалистов олимпиады по математике, решили обменяться впечатлениями о конкурсе и позвонить друг другу. Сколько звонков

Слайд 363
5

1
4
2
С помощью графов

4 + 3 + 2 + 1

= 10
35142С помощью графов 4 + 3 + 2 + 1 = 10

Слайд 37Сколько существует вариантов размещения 5 финалистов олимпиады по математике на 5

призовых мест?


Сколько существует вариантов размещения 5 финалистов олимпиады по математике на 5 призовых мест?

Слайд 38Задача
(размещение без повторения)

5 x 4 x 3 х 2

х 1 = 120

* * * * *

Задача (размещение без повторения) 5 x 4 x 3 х 2 х 1 = 120* *

Слайд 39
Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y

{или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

Правило суммы

Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества

Слайд 40Правило произведения
Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент

Y- m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.
Правило произведения Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y- m способами то пару (X,Y)

Слайд 41Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор

17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Примеры задач

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13

Слайд 42Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор

17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение: X=17, Y=13
По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем.

Примеры задач

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13

Слайд 43Примеры задач
Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый

и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Примеры задач Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он

Слайд 44Примеры задач
Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый

и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12 * 3 = 36 вариантов переплета.
Примеры задач Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он

Слайд 45





Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева

направо и справа налево?

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Слайд 46





Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева

направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z - любые цифры, а X - не нуль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.
Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?Решение: В таких

Слайд 47Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера. Например:
Из 100

туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?
Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера. Например:Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким

Слайд 48Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера. Например:
Из 100

туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?




Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким.

Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера. Например:Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким

Слайд 49Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Слайд 51По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы

один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.
По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не

Слайд 52Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов

вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским

Слайд 53Вычислить:


Вычислить:

Слайд 54Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!
Читаем:


n!
n (эн) - факториал

n! = 1 · 2 · 3 · ... · n

Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!Читаем: n!n (эн) - факториалn! = 1

Слайд 55Вычислите:

Вычислите:

Слайд 56Вычислите:

Вычислите:

Слайд 57Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы

все цифры были различны?
Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.

Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов

Размещения без повторений

Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример

Слайд 58Количество всех размещений из n элементов по m обозначают
Значит, ответ

на вышепоставленную задачу будет
Количество всех размещений из n элементов по m обозначают Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет

Слайд 59Количество всех размещений из n элементов по m обозначают
Значит, ответ

на вышепоставленную задачу будет

Возможно 151200 вариантов

Количество всех размещений из n элементов по m обозначают Значит, ответ на вышепоставленную задачу будетВозможно 151200 вариантов

Слайд 60Примеры задач
Задача
Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести

девушек на танец?


Примеры задач ЗадачаСколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Слайд 61Примеры задач
Задача
Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести

девушек на танец?
Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому:

Возможно 360 вариантов.

Примеры задач ЗадачаСколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?Решение: два юноши не

Слайд 62Перестановки без повторений
В случае n=m (см. размещения без повторений) из

n элементов по m называется перестановкой множества x. Количество всех перестановок из n элементов обозначают Pn.
Pn=n!
Действительно при n=m:

Перестановки без повторений В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m называется перестановкой

Слайд 63Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2,

3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?


Примеры задач

Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе

Слайд 64Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2,

3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?


Решение:
1) Найдем количество всех перестановок из этих цифр:
P6=6!=720
2) 0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди.

А это P5=5!=120.
P6-P5=720-120=600

Примеры задач

Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе

Слайд 65Квартет
Проказница Мартышка
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка,

- погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры
И споры,
Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?

КвартетПроказница МартышкаОсел,Козел,Да косолапый МишкаЗатеяли играть квартет…Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите!Как музыке идти?Ведь вы не

Слайд 66Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако

способов не так уж и много. Сколько?

Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно

P4=4!=24 варианта перестановок.



Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много.

Слайд 67Сочетания без повторений
Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором

порядок следования элементов не имеет значения.
Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Число сочетаний из n элементов по m обозначается
Сочетания без повторений Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения.Всякое

Слайд 68Примеры задач
Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке

(все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.


Примеры задач Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если

Слайд 69Примеры задач
Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке

(все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

Решение:
Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно

вариантов.

Примеры задач Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если

Слайд 70У одного человека 7 книг по математике, а у второго –

9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.


У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять

Слайд 71У одного человека 7 книг по математике, а у второго –

9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.

Решение:

Так как надо порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2-ух книг - сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги

способами. Второй человек может выбрать 2 книги

Значит всего по правилу произведения возможно 21*36=756 вариантов.

У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять

Слайд 72При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими

способами они могут это сделать?

При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

Слайд 73При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими

способами они могут это сделать?

Решение:

Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно, возможно
При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?Решение:Первый игрок

Слайд 74

где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nr-количество одинаковых элементов.
Перестановки с повторениями
Сколькими

способами можно переставить буквы слова «ананас»?

.

Примеры задач

где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nr-количество одинаковых элементов.Перестановки с повторениями Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?.

Слайд 75

Перестановки с повторениями
Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

Решение: всего

букв 6. Из них одинаковы n1«а»= 3, n2«н»=2, n3«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно

.

Перестановки с повторениями Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=

Слайд 76 У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана,

Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана, Она решила двух из них пригласить

Слайд 77Таких вариантов 10.

У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина

и Светлана, Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов? Решение: Переберем возможные варианты:
Таких вариантов 10. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана, Она решила двух из

Слайд 78Используя цифры 0; 2; 4; 6, составьте все возможные трёхзначные числа,

в которых цифры не повторяются.
Сколько получилось вариантов?
Используя цифры 0; 2; 4; 6, составьте все возможные трёхзначные числа, в которых цифры не повторяются.Сколько получилось

Слайд 79Используя цифры 0; 2; 4; 6, составьте все возможные трёхзначные числа,

в которых цифры не повторяются.
Решение:
 1)      Составлю дерево возможных вариантов:

 
2)      Посчитаю количество трёхзначных чисел по комбинаторному правилу умножения: Первую цифру я могу выбрать из имеющихся четырёх 3 способами, после чего вторую цифру я могу выбрать из оставшихся трёх 3 способами, после чего третью цифру я могу выбрать из оставшихся двух 2 способами, значит способов выбора у меня 3*3*2=18.

Используя цифры 0; 2; 4; 6, составьте все возможные трёхзначные числа, в которых цифры не повторяются.Решение: 1)      Составлю

Слайд 80Перестановки
В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия биология, история, физкультура,

химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

ПерестановкиВ расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание

Слайд 81Перестановки
В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия биология, история, физкультура,

химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?
Решение:
Сначала буду рассматривать уроки алгебры и геометрии как один урок, тогда надо составить расписание не для 6 уроков, а для 5, т.е. Р5 = 5! = 120 (способами). При этом возможны 2! = 2 способа для расстановки уроков алгебры и геометрии относительно друг друга, значит по комбинаторному правилу умножения расписание на понедельник, соответствующее заданным требованиям, можно составить 120*2 = 240 (способами).

ПерестановкиВ расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание

Слайд 82Размещения
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и

первая цифра отлична от нуля?
РазмещенияСколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Слайд 83Размещения
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и

первая цифра отлична от нуля?
Решение:
Имея 10 цифр, я могу составить
А107 = 10*9*8*7*6*5*4 семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны.
Среди этих номеров имеются номера, начинающиеся с цифры 0, их число равно А96 = 9*8*7*6*5*4. Значит всего таких телефонных номеров будет А107 – А96 = 10*9*8*7*6*5*4 – 9*8*7*6*5*4 = 544320.
РазмещенияСколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?Решение:Имея 10

Слайд 84Сочетания
В магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими

способами можно выбрать из них 3 набора?
СочетанияВ магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3

Слайд 85Сочетания
В магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими

способами можно выбрать из них 3 набора?
Решение:
СочетанияВ магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3

Слайд 86
В классе учатся 11 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории

требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?


В классе учатся 11 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех

Слайд 87
В классе учатся 11 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории

требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
В классе учатся 11 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех

Слайд 88Перестановки. Размещения. Комбинации










Перестановки. Размещения. Комбинации

Слайд 89Правило суммы. Правило произведения

Правило суммы. Правило произведения

Слайд 90На завтрак Вова может выбрать: плюшку, бутерброд,
пряник, или кекс, а

запить он может: кофе, соком,
кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?
На завтрак Вова может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром.

Слайд 91Ответ:15.

Переберем все возможные варианты

Ответ:15.Переберем все возможные варианты

Слайд 92Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в

виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других стран флаг?
Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по

Слайд 93Ответ:6.

Ответ:6.

Слайд 94 На соревнование по легкой атлетике приехала команда из 12-ти спортсменок. Сколькими

способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 м на первом, втором, третьем и четвертом местах?


На соревнование по легкой атлетике приехала команда из 12-ти спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из

Слайд 95Поскольку тренеру важно, в каком порядке будут бежать спортсменки, то порядок

при выборе элементов учитывается. Количество способов выбрать из 12 спортсменок 4 для участия в эстафете равна количеству размещений из 12 элементов по 4 (без повторений), т.е.


Ответ: 11 880.


Поскольку тренеру важно, в каком порядке будут бежать спортсменки, то порядок при выборе элементов учитывается. Количество способов

Слайд 96
Сколько четных двузначных чисел можно составить
из цифр 0,1,2,4,5,9?

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?

Слайд 97Ответ: 15 чисел.

1
2
4
5
9
0
2
4
10

14
12
20
22
24
40
42
44
50
52
54
90
92
94

Переберем все возможные варианты
І способ

Ответ: 15 чисел.12459024101412202224404244505254909294Переберем все возможные вариантыІ способ

Слайд 98
Воспользуемся формулой комбинаций без повторений

Поскольку нам необходимо составить двузначные числа, то

они не могут начинаться на 0. Выбрать первую цифру из 5-ти можно способами.








Чтобы число было четным, оно должно заканчиваться на 0, 2 или 4, т.е. четное число можно выбрать способами .

Тогда по правилу произведения четные двузначные числа можно составить .

Получаем

ІI способ

Ответ:15 чисел.

Воспользуемся формулой комбинаций без повторенийПоскольку нам необходимо составить двузначные числа, то они не могут начинаться на 0.

Слайд 99В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

Слайд 100Ответ: 8 способов.


Переберем все возможные варианты
І способ

Ответ: 8 способов.Переберем все возможные вариантыІ способ

Слайд 101
Воспользуемся правилом умножения
Для каждой лампочки возможны два исхода, а лампочек три,

значит:

Ответ:8.

Нам необходимо разместить 2 предмета по трем ячейкам, причем они могут повторяться. Имеем:




Воспользуемся формулой размещений с повторениями

ІІ способ

ІІІ способ

Воспользуемся правилом умноженияДля каждой лампочки возможны два исхода, а лампочек три, значит:Ответ:8.Нам необходимо разместить 2 предмета по

Слайд 102Выберите правило

№1. Из города А а город В ведут 5 дорог,

а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?


№2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 по геометрии и 5 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?


№3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?

Выберите правило№1. Из города А а город В ведут 5 дорог, а из города В в город

Слайд 103Выберите правило

№1. Из города А а город В ведут 5 дорог,

а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?
5*3=15

№2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 по геометрии и 5 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?
4+3=7

№3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?
4*3*2=24

Выберите правило№1. Из города А а город В ведут 5 дорог, а из города В в город

Слайд 104






Да
Нет
Нет
Выбор формулы

ДаНетНетВыбор формулы

Слайд 105Проверочная работа
1 вариант

1. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на

курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?
2. Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?


2 вариант

1. В школьном хоре имеется пять солистов. Сколько есть вариантов выбора двух из них для участия в конкурсе?

2. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?


Проверочная работа1 вариант1. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это

Слайд 106Ответы 1 вариант

2 вариант
Ответы 1 вариант 2 вариант

Слайд 107Задача. В магазине есть 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и

4 вида галстуков. Сколькими способами можно купить комплект из пиджака, брюк и галстука?

Задача. В магазине есть 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида галстуков. Сколькими способами можно

Слайд 108Задача. В магазине есть 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и

4 вида галстуков. Сколькими способами можно купить комплект из пиджака, брюк и галстука?
Решение. Предположим, что пиджак уже выбран (это можно сделать 7 способами). К пиджа-ку выбираем брюки 5 способами. Итого пару (пиджак, брюки) можно выбрать 7 · 5 способами. К этой паре можно купить галстук 4 способами. Следовательно, для покупки пиджака, брюк и галстука имеется 7 · 5 · 4 = 140 способов.

Задача. В магазине есть 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида галстуков. Сколькими способами можно

Слайд 109


Задача. Сколько существует пятизначных чисел, у которых все цифры чётные?


Задача. Сколько существует пятизначных чисел, у которых все цифры чётные?

Слайд 110


Задача. Сколько существует пятизначных чисел, у которых все цифры чётные?

Решение.

Представим себе пять последовательных позиций для цифр пятизначного числа. На первую позицию можно поставить четыре цифры: 2, 4, 6 или 8. На вторую позицию можно поставить пять цифр: 0, 2, 4, 6 или 8. На третью, четвёртую и пятую позиции можно поставить те же пять цифр: 0, 2, 4, 6 или 8. Всего имеем 4·5·5·5·5 = 2500 вариантов заполнения позиций; именно столько и будет искомых чисел.
Вы уже, несомненно, уловили суть второго правила комбинаторики — правила произведения. Остаётся дать его строгую формулировку.
Правило произведения. Пусть объект a можно выбрать m способами, после чего объект b можно выбрать n способами. Тогда упорядоченную пару (a, b) можно выбрать m*n способами; иными словами, существует mn различных упорядоченных пар (a, b).

Задача. Сколько существует пятизначных чисел, у которых все цифры чётные? Решение. Представим себе пять последовательных позиций для

Слайд 111




Задача. (Размещения с повторениями) Сколькими способами можно разложить m различных шаров

в n различных ящиков? На число шаров в ящике ограничений нет.

Задача. (Размещения с повторениями) Сколькими способами можно разложить m различных шаров в n различных ящиков? На число

Слайд 112




Задача. (Размещения с повторениями) Сколькими способами можно разложить m различных шаров

в n различных ящиков? На число шаров в ящике ограничений нет.
Решение. Представим себе m клеток (это шары). В каждую клетку можно вписать любое число от 1 до n (номер ящика, в который кладётся шар). Всего получится n m всевозможных способов заполнить клетки, то есть разложить шары по ящикам.

Задача. (Размещения с повторениями) Сколькими способами можно разложить m различных шаров в n различных ящиков? На число

Слайд 113




Задача. Сколько делителей у числа 720?

Задача. Сколько делителей у числа 720?

Слайд 114




Задача. Сколько делителей у числа 720?
Решение. Разложим на простые множители:

720 = 24 · 3 2 · 5. Следовательно, всякий делитель числа 720 должен иметь вид 2 a · 3 b · 5 c , где a ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, b ∈ {0, 1, 2}, c ∈ {0, 1}. Мы видим, что каждому делителю соответствует единственная упорядоченная тройка (a, b, c) и наоборот — каждой упорядоченной тройке (a, b, c) с элементами из данных множеств отвечает единственный делитель числа 720. Можно сказать, что (a, b, c) — это уникальное имя делителя, и потому делителей будет ровно столько же, сколько получится упорядоченных троек (a, b, c). Но число a можно выбрать 5 способами, число b можно выбрать 3 способами, число c мож- но выбрать 2 способами; значит, упорядоченную тройку (a, b, c) можно выбрать 5 · 3 · 2 = 30 способами. Таким образом, у числа 720 имеется 30 делителей.

Задача. Сколько делителей у числа 720? Решение. Разложим на простые множители: 720 = 24 · 3 2

Слайд 115Задача. Сколько трёхзначных чисел содержат ровно одну цифру 7?


Задача. Сколько трёхзначных чисел содержат ровно одну цифру 7?

Слайд 116Часто в задачах работают одновременно оба правила — суммы и произведения.

Задача. Сколько трёхзначных чисел содержат ровно одну цифру 7? Решение.

Единственная цифра 7 может стоять либо на первом месте, либо на втором, либо на третьем. Соответственно находим количества чисел в каждом из этих случаев, после чего пользуемся правилом суммы.
Найдём количество n1 трёхзначных чисел, у которых единственная цифра 7 будет первой. На второй и третьей позициях может стоять любая из цифр, кроме 7; следовательно, вторую и третью позицию мы можем заполнить 9 · 9 = 81 способами. Итак, n1 = 81. Теперь найдём количество n2 трёхзначных чисел, у которых единственная цифра 7 стоит на втором месте. Первая цифра может быть любой, кроме 0 и 7 (то есть 8 способов выбора). Вторая цифра — любая, кроме 7 (это 9 способов). Следовательно, n2 = 8 · 9 = 72. Аналогично находим количество n3 трёхзначных чисел, у которых единственная цифра 7 стоит на третьем месте: n3 = 8 · 9 = 72. По правилу суммы искомое количество чисел равно n1 + n2 + n3 = 81 + 72 + 72 = 225.

Часто в задачах работают одновременно оба правила — суммы и произведения. Задача. Сколько трёхзначных чисел содержат ровно

Слайд 117


Задача. Сколькими способами можно из семи человек выбрать комиссию из трёх

человек во главе с председателем?


Задача. Сколькими способами можно из семи человек выбрать комиссию из трёх человек во главе с председателем?

Слайд 118


Задача. Сколькими способами можно из семи человек выбрать комиссию из трёх

человек во главе с председателем?

Решение. Председателя можно выбрать семью способами. Остальных двоих мы выбираем из шести человек C 2 6 = 15 способами. Поэтому число способов выбора комиссии равно 7 · 15 = 105.
Задача. («Покори Воробьёвы горы!», 2014, 10–11 ) Сколькими способами можно собрать бри- гаду из 3 маляров и 4 штукатуров, если имеется 6 маляров и 8 штукатуров?
Решение. Маляров можно выбрать C 3 6 способами. Штукатуров можно выбрать C 4 8 способами. Значит, для формирования бригады имеется C 3 6C 4 8 = 20 · 70 = 1400 способов.

Задача. Сколькими способами можно из семи человек выбрать комиссию из трёх человек во главе с председателем? Решение.

Слайд 119




Задача. («Высшая проба», 2014, 7–8 ) Сколько среди целых чисел от

100 до 10000 таких, в записи которых встречаются ровно три одинаковых цифры?
Задача. («Высшая проба», 2014, 7–8 ) Сколько среди целых чисел от 100 до 10000 таких, в записи

Слайд 120

Задача. («Высшая проба», 2014, 7–8 ) Сколько среди целых чисел от

100 до 10000 таких, в записи которых встречаются ровно три одинаковых цифры? Решение. Описанные в условии числа будем называть хорошими.

Трёхзначных хороших чисел, очевидно, девять: 111, 222, . . . , 999. Ищем количество четырёхзначных хороших чисел. Ровно двух нулей в записи хорошего числа быть не может. Остаются следующие варианты: три нуля, один нуль, нет нулей. Хороших четырёхзначных чисел с тремя нулями девять: 1000, 2000, . . . , 9000. Предположим, что среди цифр хорошего четырёхзначного числа ровно один нуль. Остальные три (совпадающие) цифры можно выбрать 9 способами. При этом нуль может стоять на втором, третьем или четвёртом месте. Всего получается 9 · 3 = 27 хороших четырёхзначных чисел с одним нулём. Предположим, что среди цифр хорошего четырёхзначного числа нуля нет. Тройку совпадающих цифр можно выбрать 9 способами; три позиции для этой тройки можно выбрать C 3 4 = 4 способами; четвёртую цифру можно выбрать 8 способами. Всего хороших четырёхзначных чисел без нуля получается 9 · 4 · 8 = 288. Искомое количество хороших чисел равно 9 + 9 + 27 + 288 = 333.

Задача. («Высшая проба», 2014, 7–8 ) Сколько среди целых чисел от 100 до 10000 таких, в записи

Слайд 121


Задача. («Физтех», 2011, 9–11 ) На некоторой прямой произвольно отмечено 10

точек, а на параллельной ей прямой — 12 точек. Сколько существует треугольников и сколько четырёх- угольников с вершинами в этих точках?

Задача. («Физтех», 2011, 9–11 ) На некоторой прямой произвольно отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой

Слайд 122


Задача. («Физтех», 2011, 9–11 ) На некоторой прямой произвольно отмечено 10

точек, а на параллельной ей прямой — 12 точек. Сколько существует треугольников и сколько четырёх- угольников с вершинами в этих точках?
Решение. Будем для краткости называть 10 точек на первой прямой красными, а 12 точек на второй прямой — синими. У треугольника может быть: 1) одна красная вершина и две синих; 2) одна синяя вершина и две красных. В первом случае мы выбираем красную вершину 10 способами, а синюю — C 2 12 = 12 · 11/2 = 66 способами. Во втором случае мы выбираем синюю вершину 12 способами, а красную — C 2 10 = 45 способами. Всего треугольников получается 10 · 66 + 12 · 45 = 1200. У четырёхугольника лишь одна возможность: две красные вершины и две синие. Число четырёхугольников получается равным C 2 10 · C 2 12 = 45 · 66 = 2970.

Задача. («Физтех», 2011, 9–11 ) На некоторой прямой произвольно отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой
Скачать презентацию

Похожие презентации

Презентация к уроку геометрия-9 тема Движения Презентация к уроку геометрия-9 тема Движения 416
Презентация Математическое море. Математический тренажёр Презентация Математическое море. Математический тренажёр 151
Презентация по алгебре на тему: Арифметическая и геометрическая прогрессия (9класс) Презентация по алгебре на тему: Арифметическая и геометрическая прогрессия (9класс) 252
Презентация к уроку математики в 4 классе по теме Решение задач на увеличение и уменьшение числа в косвенной форме. Презентация к уроку математики в 4 классе по теме Решение задач на увеличение и уменьшение числа в косвенной форме. 302
Презентация 5 класс по математике на тему Округление чисел Презентация 5 класс по математике на тему Округление чисел 212
Презентация по математике Десятичная запись дробей 6 класс Презентация по математике Десятичная запись дробей 6 класс 324

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть