Презентация, доклад по алгебре и началам математического анализа по теме:

рисунке №1. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В другой точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум.

функции.

Точки максимума функции обозначаются: xmax1, xmax2, xmax3 и так далее. Точки минимума функции обозначаются: xmin1, xmin2, xmin 3 и так далее.

Обратим внимание на то, что функция может достигать нескольких максимумов и минимумов. Отметим, что если функция имеет в точке максимум (минимум), то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее (наименьшее) значение во всей области определения.

функции
Экстремумы функции обозначаются: ymin,1, ymin,2, ymin,3, ..., ymax,1, ymax,2, ymax,3 и так далее.

Функция y = f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) < f(x0).

Функция y = f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) > f(x0).

точек экстремума функции (точек максимума и минимума функции). Прежде, чем переходить к формулировке теорем, касающихся поиска точек экстремума функции, необходимо ввести определения стационарных и критических точек.
На рисунке №2 представлены две стационарные точки X1 и Х2.

Рисунок №2. Стационарные точки.

функции равна нулю. С точки зрения геометрического смысла производной функции в стационарных точках касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (ось Ox).

Обратимся теперь к рисунку №3. На данном рисунке представлены две точки x1 и x2, в которых производная функции не существует.

Рис.3

не существует, касательная к графику может быть проведена не одним, а множеством различных способов.

Критическими называются такие точки внутренней области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Из приведённых определений очевидно, что любая стационарная точка является критической, но не любая критическая точка является стационарной.

- это точка, в которой производная функции равна нулю или в которой производная не существует.
т.е. стационарная точка- это подмножество критических точек

является формулировка теоремы Ферма об экстремумах функции и теоремы о необходимом условии экстремума функции.

Теорема Ферма об экстремумах функции.

Согласно этой теореме если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 и достигает в ней экстремума (минимума или максимума), то производная функции в этой точке равна нулю, т. е. y' = f '(x0) = 0.

достигает в ней экстремума, то касательная к графику этой функции в точке x0 будет параллельна оси абсцисс (ось Ox). Данное утверждение проиллюстрировано на рисунке №4.

Рисунок №4. Касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс.

(минимума или максимума) в некоторой точке x0, то производная функции в этой точке равна нулю, либо не существует.

Случай, когда непрерывная функция не имеет производной в точке и при этом достигает в ней экстремума, изображён на рисунке №5.

Рис.5

точек, в которых функция может достигнуть экстремума, а может и не достигнуть. Но при этом в любых других точка экстремума не будет. Поэтому требуется ввести критерий отбора среди найденных критических точек тех точек, которые являются точками экстремума, и тех, которые ими не являются.

имеет критическую точку x0. Тогда возможен один из 3-х случаев.

1. Точка x0 является точкой минимума функции, если существует такая окрестность этой точки, что в ней для любого x < x0 выпол-няется неравенство f '(x) < 0, а при x > x0 неравенство f '(x) > 0.

2. Точка x0 является точкой максимума функции, если существует такая окрестность этой точки, что в ней для любого x < x0 выпол-няется неравенство f '(x) > 0, а при x > x0 неравенство f '(x) < 0.

3. В точке x0 экстремума нет, если существует такая окрестность этой точки, что в ней для любого x ≠ x0 знаки производной одинаковы.

необходимо исследовать на предмет наличия экстремумов. Для этого следует выполнить последовательность действий:
Найти производную f '(x) заданной функции.
2. Найти критические точки. Для этого необходимо исследовать, в каких точках производная функции f '(x) не существует, и найти нули производной функции, т. е. решить уравнение f '(x) = 0.
3. Отметить критические точки на числовой прямой область определения функции y = f(x)
4. Определить знаки производной функции f '(x) на получившихся промежутках.
5. Опираясь на теорему о достаточных условиях экстремума функции, сделать выводы о наличии или отсутствии точек экстремума функции.

16x3 + 24x2 − 11 на наличие экстремумов.
1. Производная функции y' = 12x3 − 48x2 + 48x.
2. Производная функции y' существует при любом x. Далее решим уравнение y' = 0.
12x3 − 48x2 + 48x = 0,
12x(x2 − 4x + 4) = 0,
12x(x − 2)2 = 0.
x1 = 0 и x2 = 2.
3. Изображаем числовую прямую, на которой отмечены критические точки.
4. Получено 3 числовых промежутка. Определяем и отмечаем знак производной функции на каждом промежутке. Для этого берём из каждого промежутка любое значение аргумента, отличное от критических точек, и подставляем в производную
5. На основании теоремы о достаточных условиях экстремума функции приходим к выводу о том, что точка x1 = 0 является точкой минимума функции, а точка x2 = 2 не является точкой экстремума функции.