Презентация, доклад Множества и операции над ними.

что «Великая книга Природы написана языком математики»

познакомитесь с начальными понятиями общепринятого в математике языка теории множеств:
элемент множества;
подмножество данного множества;
объединение множеств;
пересечение множеств.

и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так:

Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

множество - пустое множество.

Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента.

Пустое множество является частью любого множества.

№3. Примеры пустых множеств. Решение:
1) Множество квадратных уравнений, которые имеют более двух разных корней;
2) множество простых делителей числа 1;
3) множество точек пересечения двух параллельных прямых;
4) множество прямых углов равностороннего треугольника;
5) множество людей на Солнце;
6) множество двузначных положительных чисел, расположенных на числовом луче левее 9.

удобно все элементы просто перечислить в каком-нибудь порядке. Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены в некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок { , }.

всех корней уравнения х3 + х2 – 6х = 0

Решить это уравнение.
Задать множество А перечислением его элементов.
Записать все возможные способы перечисления элементов множества А.
Сколько всего имеется способов перечисления элементов множества А?

Решение:

х3 + х2 – 6х = 0
х(х2 + х – 6) = 0
х(х + 3)(х – 2) = 0
х=0; х=-3; х=2

2)А={-3; 0; 2}

3) {-3; 0; 2} , {-3; 2; 0},
{0; 2; -3}, {0; -3; 2},
{2; -3; 0}, {2; 0; -3}

4) 6

Пример 1

целиком. Этот способ в том или ином виде использует словесный оборот « … и так далее»

В данных случаях приведены примеры числовых множеств, которые настолько часто встречаются в разных разделах математики, что для них ввели специальные обозначения.

свойства (самый распространенный способ)

Чтение записи

4, 6, 8}

б) {2, 4, 6, … 18, 20}


в) {12, 22, 32, … 92}

г) {1, 8, 27, 64, 125, …}

Множество всех четных цифр (все цифры, кроме 1,3,5,7,9)

Множество всех четных натуральных чисел, которые меньше 21
( все числа, полученные из чисел 1, 2, … 9, 10 умножением на 2)

Множество всех двузначных чисел, оканчивающихся на 2

Множество всех кубов натуральных чисел

| х2 + 1 >0}; б) {х | х2 + 1 < 0,5}; в) {х | 1/х >0};
г) {х | 35х2 < 24x +35}

Ответы:
а) (-∞; +∞) или R
б) Ø (пустое множество)
в) (0; 1)
г) [-5/7; 7/5]

3, 5, 7, 9}

вместе, а группируя их в разных комбинациях. Так можно получать различные подмножества данного множества.

Пример 4.

На поле в составе футбольной команды должны выйти два нападающих, а у тренера команды есть четыре кандидата х, у, z, t на эти позиции.
а) Из скольких вариантов придется выбирать тренеру?
б) Как изменится ответ в а), если игрок х не может играть с игроком у?
в) Как изменится ответ в а), если игрок z может играть только вместе с игроком t?
г) Как изменится ответ в а), если на поле должны выйти три нападающих?

тренеру следует выбрать двух игроков, т.е. выбрать два элемента. Значит, задача свелась к подсчету числа всех двухэлементных подмножеств данного множества А = {х, у, z, t}

а) Для игрока х: {х, у}, {х, z}, {х, t}
Для игрока у: {у, z}, {у, t}, вариант {х, у} – уже учтен.
Для игрока z: {z, t}, варианты {х, z}, {у, z} –уже учтены.
Для игрока t все варианты выхода на игру уже указаны
Ответ: 6 вариантов: {х, у}, {х, z}, {х, t}, {у, z}, {у, t}, {z, t}

б)из перечисленных вариантов следует убрать {х, у}.Ответ: 5 вариантов

в) из а) следует убрать: {х, z}, {у, z}. Ответ: 4 варианта

г) считаем все трехэлементные подмножества:
{х, у, z}, {х, у, t}, {х, z, t}, {у, z, t} Ответ: 4 варианта

4 + 1 = 16 разных подмножеств

множество В называют подмножеством множества А.
Обозначение: В А. Знак - знак включения

А

В

В А

Фигура В целиком расположена в фигуре А

А

В

С

Д

Какие из следующих включений верны или неверны?
А В, С А, Д В, А Д,
С В, Д А.

?

различных операций над множествами. Обычно множества при этом изображают в виде некоторых кругов. Такие круги называют кругами Эйлера в честь великого немецкого математика Леонарда Эйлера (1707 -1783), который долгое время работал в России.

А – подмножество В

состоящее из всех общих элементов множеств А и В, т.е. из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В

Обозначение:

={х | х А и х В}

Круги Эйлера

Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств – или множеству А, или множеству В.

Обозначение:

= {х | х А или х В}

Круги Эйлера

{1,2,3} {2,3,4} = {1,2,3,4}.

{1,2,3} {2,3,4} = {2,3}

22, …, 88, 99}, В = {3, 6, 9, …}
б) А – множество различных букв, используемых в слове «перераспределение», В – множество различных букв, используемых в слове « реформирование»
в) А = ( 1, √10), В = N;
г) А – множество точек окружности радиуса 1 с центром в начале координат, В – множество точек прямой у = 3х – 5.

Ответ:
а) А∩В = {33, 66, 99}
б) А∩В = {е, р, а, н, и}
в) А∩В = {2, 3}
г) А∩В = Ø

и т.д. множеств.
Пересечением множеств А, В и С называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В, и множеству С.
Пересечение множеств А, В и С обозначают так: А∩В∩С.
Пример выполнения нескольких условий : решение системы уравнений.

делителей числа 105, В – множество делителей числа 55;
б) А – множество цифр числа 35, в – множество цифр числа 210;
в) А = (1; √10), В = [ 2, 4];
г) А – множество точек координатной плоскости, у которых абсцисса больше 3, В – множество точек координатной плоскости, у которых ордината не больше 2.

Ответ:
а) АUВ = {1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 35, 55, 105}
б) АUВ = {0, 1, 2, 3, 4}
в) АUВ = (1,; 4]

т.д. множеств.

Объединением множеств А, В, С называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству А, или множеству В, или множеству С.

Объединение множеств А, В, С обозначают так: АUВUС
Пример: решение неравенств