Презентация, доклад к занятию Степенные ряды, область сходимости

рядом.

Интервал и радиус сходимости
Интервал сходимости степенного ряда - интервал действительных значений переменного, обладающий тем свойством, что в каждой точке этого интервала степенной ряд сходится, а в каждой точке, не принадлежащей к этому интервалу и не являющейся его концом,- расходится

ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.
Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:

u = x + 3. Тогда ряд принимает вид .
Вычислим радиус сходимости:




Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).

радиус сходимости:
     

Рассмотрим сходимость в конечных точках.
Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд .

Если x = 1, то ряд также расходится.

Следовательно, исходный ряд сходится на открытом
интервале (− 1; 1).

. Радиус сходимости будет

равен
     

В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд .
При x = 1 получаем расходящийся гармонический ряд .

Таким образом, заданный ряд сходится на
Полуоткрытом интервале [− 1; 1).

интервал сходимости данного ряда.
     


Если x = −1, то получаем ряд
     
который сходится по признаку Лейбница.
Если же x = 1, то мы имеем расходящийся ряд:

 Таким образом, интервал сходимости заданного ряда равен
[− 1; 1).

u = x − 2. Тогда ряд запишется в виде .
Вычислим радиус сходимости:
     


Исследуем сходимость в конечных точках интервала.

Пример 5

гармонический ряд с
показателем степени p =2 > 1.
Если u = 1, то получаем знакочередующийся ряд
     
который также сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, интервал сходимости для ряда равен
[− 1; 1].
Поскольку новая и старая переменные связаны
соотношением u = x − 2, то интервал сходимости исходного
ряда будет равен
     
Ответ: исходный ряд сходится в интервале [1; 3].

член данного степенного ряда (начиная с n = 0),
выражается формулой
     
Здесь и .

Определим радиус сходимости:

сходится по признаку Лейбница.
При соответственно, имеем ряд

     
Применим для его анализа интегральный признак сходимости:

     
Следовательно, ряд расходится. Поэтому, интервал
Сходимости исходного ряда равен .