Презентация, доклад к уроку математики по теме Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

« Престиж» Паринцева И.В.

на прямой a произвольную точку A. Проведем через нее прямую b' || b. Угол между прямыми a и b' по теореме 10 равен углу между скрещивающимися прямыми a и b. Ясно, что величина этого угла не зависит от выбора точки A. Действительно, выберем на прямой a точку A1 ≠ A и проведем через нее прямую b’' || b. Поскольку b' || b и b’' || b, то b’' || b'. Прямые b' и b’' образуют с прямой a одинаковые углы.

соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол. На чертеже изображен куб ABCDA1B1C1D1. Скрещивающиеся прямые A1D1 и CD перпендикулярны. Действительно, A1D1 перпендикулярно C1D1, а C1D1 || CD.
Назовем еще несколько пар скрещивающихся перпендикулярных прямых: A1D1 и AB, A1B1 и BC, A1B1 и AD, B1C1 и AB

прямой из этой плоскости.

Теорема1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема 2. 
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
    
Теорема 5. 
Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.

Пусть AO – перпендикуляр к плоскости α , O – основание перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра AO называется расстоянием от точки A до плоскости α. Отрезок, соединяющий точку A с любой точкой плоскости, отличной от O, называется наклонной (AB – наклонная, B – основание наклонной, BO – проекция наклонной на плоскость α, то есть BO = Пр. α AB).

и наклонные, то
длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
наклонные с равными проекциями равны;
из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция.
    
Теорема 7. О трех перпендикулярах.
Для того, чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость.

β Пусть плоскость γ, перпендикулярная прямой a, пересекает плоскости α и β по прямым m и n, которые взаимно перпендикулярны, то есть γ пересекает α по m, γ пересекает β по n и m перпендикулярна n. Такие плоскости α и β называются взаимно перпендикулярными.
Это определение не зависит от плоскости γ. Действительно, если провести другую плоскость δ, перпендикулярную прямой a, то δ || γ.
Пусть δ пересекает α по m', δ пересекает β по n'. По теореме о следах m' || m и n' || n. Угол, образованный прямыми m' и n', и угол, образованный прямыми m и n, равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.
    

То есть, если плоскость β содержит прямую a, перпендикулярную плоскости α, то плоскости α и β перпендикулярны.

Теорема 9. 
Пусть α  перпендикулярна   β, α пересекает  β по прямой a, b  перпендикулярна a, b  принадлежит  β, тогда b  перпендикулярна α. То есть прямая b, лежащая в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей β и перпендикулярная линии пересечения a этих плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости α.

Теорема 10.
Если плоскости α и β взаимно перпендикулярны, и к плоскости α проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с плоскостью β, то этот перпендикуляр лежит в плоскости β.

Теорема 11. 
Пусть плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересекаются по прямой a, тогда a  перпендикулярна   γ.

перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из этих прямых.

Теорема 12. 
Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Лемма 1. 
Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.

между наклонной AB и плоскостью α. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними по определению равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90°. Если β – угол между прямой и плоскостью, то 0° < β < 90°. Проведем в плоскости α произвольную прямую b через точку B так, чтобы OC было перпендикулярно b. Пусть,    ABO = β,    OBC = γ,    ABC = φ. Рассматривая прямоугольные треугольники ABO, OBC, ACB, имеем

Заметим, что               или

Мы получили формулу трех косинусов. Обратите внимание на то, что плоскости углов β и γ взаимно перпендикулярны.
Замечание. Поскольку углы φ, β и γ острые, из формулы трех косинусов следует, что cos β > cos φ и 0° < β < φ.
Таким образом, углом β между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость является наименьший из углов, образованных наклонной с прямыми плоскости α.

имеющими одну общую границу.

прямая этих граней называется ребром двугранного угла. Пусть точки A и B взяты на ребре двугранного угла. Двугранный угол обозначается двумя буквами: угол AB. Иногда двугранный угол обозначается четырьмя буквами, из которых две средних обозначают точки ребра, а две крайние – точки, взятые на гранях. Пусть M     α, N     β , тогда двугранный угол обозначается так: угол MABN. Выберем на ребре AP двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость α перпендикулярно ребру AP. Плоскость α пересекает грани двугранного угла по лучам a и b, которые образуют некоторый угол величиной φ. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Легко доказать, что величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре AP. Возьмем на ребре AP точку D, отличную от C, и проведем через нее плоскость β || α. Пусть плоскость β пересекает грани двугранного угла по лучам a1 и b1. Согласно теореме о следе a1 || a, b1 || b, поэтому полученные в сечении углы равны. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла. Если φ – величина двугранного угла, то 0° < φ < 180°.

этих двугранных углов называется углом между этими плоскостями.
Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0° < φ < 90°.

называется ортогональным проектированием

Теорема 13. 
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции:

Доказательство

– высота Δ ABC. По теореме о трех перпендикулярах OD  AB, то есть OD – высота Δ ABO. Плоскость CDO перпендикулярна прямой AB, поэтому    CDO – линейный угол двугранного угла AB. Пусть    CDO = φ, тогда OD = CD cos φ,                    

что и требовалось доказать.
Если сторона AB не лежит в плоскости проекции, но параллельна ей, доказательство аналогично.

отрезок BD параллельно плоскости проекции. Тогда в каждом из треугольников ABD и BCD существует сторона BD, параллельная плоскости проекции. В соответствии с первым случаем получаем:

Складывая или вычитая эти равенства в зависимости от того принадлежит точка D отрезку AC или лежит вне него, имеем

что и требовалось доказать.

случае является отрезок, площадь которого равна нулю. Косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью Δ равен так же нулю. Значит формула              также формально верна.
Если проектируется многоугольник, то разбиваем его на треугольники и для каждого применяем доказанную теорему.

и геометрической точности стен и потолков зданий и их фундаментов).
В инженерно-технических проектах, где перпендикулярность прямых и плоскостей является основой для построений более сложных элементов.