Презентация, доклад к исследовательской работе Эти удивительные прогрессии

Ці дивовижні прогресії



Дослідницька робота з математики
Бичкової Аріни Андріївни,
учениці 9 класу
КЗ “Успенська гімназія №1”.




с. Успенка - 2014

ЛРКУ «Методичний кабінет освіти»

картину виникнення поняття прогресії і виявити приклади їх застосування.
.

що дає змогу опанувати теоретичні знання, необхідні для того, щоб відповісти на запитання:
- коли і у зв'язку з якими потребами людини з'явилося поняття послідовності, зокрема-прогресії;
- які вчені зробили великий внесок у розвиток теоретичних і практичних знань з даного питання;
Встановити факти широкого застосування знань з даної теми для практичних потреб в різних галузях наук.
Виявити значення теми «Арифметична і геометрична прогресії» для підготовки до ДПА та ЗНО.

- числова послідовність, в якій

кожне наступне число, починаючи з другого,

дорівнює попередньому .

+ d

d = an -а1

an=а1+d (n-1)

Рекурентна формула

bn+1=bn ·q

q =bn+1:bn

bn = b1qn-1

Характеристичні властивості

Різниця(знаменник)

Формула n-го члена

Сума n членів

притулку на два тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого - 2 крб., третього - 3 крб. і т. д., збільшуючи щоденну плату на 1 крб.
Ти ж будеш подавати милостиню: першого дня 1 коп., другого — 2 коп., третьо­го — 4 коп. і т. д., збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Ба­гатій з радістю погодився, вважаючи умови вигідними. Скільки грошей одержав багатій?

Задача:

арифметичної прогресії, де перший член прогресії дорівнює 1, різниця прогресії теж 1. Отже, бідняк оплатить багатію 105 крб.
2) Сума, яку оплатить багатій бідняку, складає суму 14 членів геометричної прогресії, де перший член прогресії дорівнює 1, знаменник же прогресії дорівнює 2.  Отже, багатій бідняку платить 16383 коп., або 163 крб. 83 коп.,
3) 163 крб. 83 коп. - 105 крб. = 58 крб. 83 коп.
Відповідь: багатій доплатив 58 крб. 83 коп.

Стародавній Єгипет

Задача з єгипетського папіруса Ахмеса:
«Нехай сказано тобі: поділи 100 мір ячменю між 5 людьми так, щоб другий одержав на стільки більше від першого, на стільки третій одержав більше від другого і т.д.”

Формула, якою користувались єегиптяни:

Стародавня Греція

Перші теоретичні відомості, пов'язані з прогресіями, дійшли до нас у документах Стародавньої Греції. У стародавній Греції ще п'ять століть до н.е. були відомі такі суми: 1+2+3+...+n = n(n+1); 1+3+5+...+(2n -1)= n² ; 2+4+6+...+2n = n(n+1).

Стародавня Греція

Архімед

У ході своїх досліджень Архімед (близько. 287-212 рр. до н.е.) знайшов суму нескінченної геометричній прогресії зі знаменником 1/4, що стало першим прикладом появи в математиці нескінченної низки...

а +

+

+ …+

=

а.

Архімед вперше зіставляє арифметичну і геометричну прогресії, встановлює між ними зв'язок. У пресі ж ці думки чітко пролунали лише в 1544 р., коли вийшла книга німецького математика Майкла Штіфеля «Загальна арифметика».

Стародавня Греція

Піфагор

Послідовність (

) трикутних чисел виходить з

послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, ... , тобто з арифметичної прогресії, в якій перший член і різниця рівні 1, наступним чином:

=

1;

= 1 + 2;

= 1 + 2 + 3;

= 1 + 2 + 3 + ... + п.

Значить,

·n

=

Стародавня Греція

- послідовність ( ) квадратних чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... ; де = .

- послідовність ( ) п'ятикутних чисел 1, 5, 12, 22, 35, .. ; де = .

вперше у творі
італійського математика Леонардо Пізанського
«Книга про абаки»
(1202 р.).

Послідовність Фібоначчі

огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

это пара кроликов. Стрелка, направленная вниз,

Щоб відповісти на запитання задачі, скористаємося наступною схемою. Кружечок - це пара кроликів.
Стрілка, спрямована вниз, вказує на цю ж пару в наступному місяці; а стрілка, спрямована вправо, вказує на потомство цієї пари.

это пара кроликов. Стрелка, направленная вниз,

Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться?.

6

Ряд 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; …називають рядом Фібоначчі.
Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх
2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д..

виведена в першій половині 17 століття кількома математиками (серед них був французький математик П'єр Ферма)

Загальне правило для знаходження суми будь-якої скінченної геометричної прогресії зустрічається в книзі французького математика Нікола Шюке «Наука про числа», яка побачила світ у 1484 році.

на ім'я Сета, , щоби особисто нагородити за вдалу видумку. На запитання царя, яку б винагороду хотів би отримати, Сета відповів: «Повелителю, накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одне пшеничне зерно. За другу клітинку накажи видати 2 зерна, за третю - 4, за четверту - 8, за п'яту - 16, за шосту -32…»
«Досить, - з роздратуванням перервав його цар. – Ти одержиш свої зерна за всі 64 клітинки дошки, згідно з твоїм бажанням: за кожну вдвічі більше ніж за попередню. Але знай, що прохання твоє недостойне моєї щедрості»
Сета хитро усміхнувся, пішов з палацу і став
чекати у його воріт.
Згодом же виявилося, що цар був не в змозі
виконати це "мале" бажання Сети.Чому?

Задача-легенда початку нашої ери.

Розв’язання: = 1, q = 2, n = 64.

= = 18 446 744 073 709 551 615.

Таку кількість зерен пшениці можна зібрати лише з врожаю планети, поверхня якої в 2000 разів більша за поверхню Землі.

причому вага чарок
зростає за арифметичною прогресією з різницею 4.
Остання чарка важить 59 лотів.
Визначити скільки важать усі чарки ”.

1. Дехто продав коня за 156 карбованців. Але покупець, придбавши коня, роздумав і повернув продавцеві, говорячи: «Немає мені розрахунку купувати за цю ціну коня, що таких грошей не коштує». Тоді продавець запропонував інші умови: "Якщо по-твоєму ціна  коня висока, то купи його підковні цвяхи, коня ж одержиш тоді в додачу безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях дай мені 1/4 коп., за другий -1/2 коп., за третій–1 коп., і т.д.“ Покупець, спокушений низькою ціною, і бажаючи даром одержати коня, прийняв умови продавця, розраховуючи,що за цвяхи прийдеться заплатити не більше 10 карбованців.

Задачі з «Арифметики» Магницького.

з запитами господарського життя: розподіл продуктів, поділ спадщини та інші.

навпіл. Скільки буде інфузорій після 15-го розмноження?

Розв’язання:

Інтенсивність розмноження складає геометричну прогресію.
b15 = 2·214 = 32 768.
Відповідь: після 15-го розмноження інфузорій буде 32 768.

хвилини ділиться на дві бактерії, кожна з них до кінця наступних 20 хвилин ділиться знову на дві і т.д. Знайдіть число бактерій, що утворюються з однієї бактерії до кінця доби.

Розв’язання:

У добі 1440 хвилин, кожні двадцять хвилин з ’ являться нове покоління - за добу 72 покоління. Маємо геометричну прогресію, у якій = 1, q = 2,
n = 72, знаходимо, що = 272-1 =
= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=
= 4 722 366 482 869 645 213 695.
Відповідь: до кінця доби утвориться
4 722 366 482 869 645 213 695 бактерій.

приготування напоїв, кисломолочних продуктів, при квашенні, солінні та ін.);

у сільському господарстві (для приготування силосу, корму для тварин і ін.);

у комунальному господарстві та природоохоронних заходах (для очищення стічних вод, ліквідації нафтових плям).

у фармацевтичній промисловості (для створення ліків, вакцин);

наступну на 2м менше,ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля.

Прогресії у фізиці.

Розв’язання:
a1=12, d = -2, an= 0 an = a1+d(n-1)
0=12 - 2(n-1); 0 = 12 – 2n+ 2; 2 n = 14; n=7.

S7= 42(м)

Відповідь: гальмівний шлях автомобіля – 42м.

– на 80м менше, ніж попередню. Яку відстань пройшов потяг за восьму хвилину?

Прогресії у фізиці.

Задача №2

Розв’язання:
a1=620, d=-80, n=8;
S8=

S8=2720(м.)

Відповідь: 2720м пройшов потяг за восьму хвилину.

кожну наступну – на 9,8м більше, ніж за попередню. Встановити, скільки секунд падатиме тіло з висоти 1960м?

Прогресії у фізиці.

Задача №3

Розв’язання:
a1=4,9, d=9,8, Sn=1960 1960=

n=20.

Відповідь:
20 секунд падатиме тіло з висоти 1960м.

в ній повітря. Визначте
тиск повітря в середині посудини після десяти рухів поршню, якщо початковий тиск був 760мм рт.ст.

Прогресії у фізиці.

Задача №4

100%-5%=95% залишається в посудині. Маємо геометричну прогресію, перший член якої 760,а знаменник 0,95.
760; 760·

0,95; 760·

0,952 … ;760· 0,9510 .

Число, що визначає тиск повітря всередині посудини, після 10-ти рухів поршня, є одинадцятим членом цієї прогресії і дорівнює 76 · 0,9510.

)грн

- формула простих відсотків.

А = а (1 + ) ͭ грн..- це формула складних відсотків.

ОАО "Райффайзен Банк Аваль"

ЗАО "Акционерный коммерческий промышленно-инвестиционный банк"

АБ "Украинский Коммунальный Банк"

років в різних банках, розташованих на території Лутугинського району на 1 квітня 2913 року.

економісту підприємства
розв’язати питання ефективності роботи даного підприємства,
оптимального обсягу товарів,
отримання максимального добутку,
визначити, який штат працівників зможе утримувати підприємство,
як вигідно підприємству оплатити податки.

наголосом на парних складах вірша.
Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію з первим членом 2 і з різницею, рівною 2: 2, 4, 6, 8,10…

Ста/рі/ ду/би, спа/си/бі/ вам /за /о/сінь,
за/ від/лі/та/ння ра/до/сті /і /птиць.
Ще/, пев/но, я/ за/тур/ка/на не/ зов/сім,
Що/ чу/ю шур/хіт/ кня/жих баг/ря/ниць
(Ліна Костенко)

Маємо п’ятистопний ямб.

наголосом на непарних складах вірша. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця дорівнює 2: 1, 3, 5, 7, 9…

Дощ/ по/лив/, і /день/ та/кий/ по/ли/в’я/ний/,
Все/ бли/щить/, і/ лю/ди/ як/ но/ві/.
Лиш/ ді/док/ ста/ре/сень/кий/, кро/пи/в ’я/ний/,
Блис/кав/ки/ ви/зби/ру/є/ в тра/ві/.
(Ліна Костенко)

Маємо п’ятистопний хорей.

з наголосом на першому складі. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця дорівнює 3: 1, 4, 7, 10…

В рай/ду/гу/ чай/ка/ ле/ті/ла/.
Хма/ра/ спли/ва/ла/ на/ схід/.
Мо/же/ б, і/ ти/ за/хо/ті/ла/
Чай/ці/ по/да/ти/ся/ вслід/?
Сон/це/ на/ за/хо/ді/ впа/ло/.
Рай/ду/га/ згас/ла/ в ім/лі/.
Тем/но/ і хо/лод/но/ ста/ло/
На/ не/спо/кій/ній/ зем/лі/...
(Л. Первомайський)

Тристопний дактиль.

наголосом на третьому складі. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 3 і різниця також дорівнює 3: 3, 6, 9,12…

На/ го/рі/ ні/би/ сні/гом/ бі/лі/є/ дав/нез/ний/ со/бор/,
Що/ скли/ка/є/ всі/ вір/ні/ сер/ця/ ве/чо/ра/ми/ і/ зран/ку/.
Дав/ня/ ра/ту/ша/ в зем/лю/ врос/та/є/, не/мов/ му/хо/мор/,
Си/вий/ май/стер/ в льош/ку/ за/мов/ля/є/ ви/на/ фі/лі/жан/ку/…
(М. Рильський)

П’ятистопний анапест.

наголосом на другому (середньому) складі.
Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 2, а різниця дорівнює 3: 2, 5, 8,11…

Про/сві/че/ний/ сон/цем/, на/ віт/рі/, в зе/ле/нім/ ог/ні/
Він/ лис/тя/ різьб/ле/не/, об/тя/же/не/ ро/са/ми/, су/шить/.
Хай/ лом/лять/ся/ го/ри/, хай/ гро/зи/ ре/вуть/ в ви/ши/ні/, —
Він/ тут/ вко/рі/нив/ся/, він/ тут/ ук/рі/пив/ся/ й не/ ру/шить…
(М. Бажан «На Карпатських узгір'ях»)

П’ятистопний амфібрахій.

прогресії, у якої = 5 .

Розв’язання: = 5 = ; = 5 = ; q = : =
= : = ;
= , = = = 2,5.


Відповідь: 2,5.

;

арифметичною прогресією?
А) 9; 7; 4; 1. Б) -4; -2; 0; 1. В) 3; 6; 12; 24.
Г) 1; 3; 6; 9. Д) 3; 6; 11; 15.

Відповідь: Д.

операторів було запроваджено акцію «Довше розмовляєш – менше платиш» з такими умовами: плата за з’єднання відсутня; за першу хвилину розмови абонент сплачує 33 копійки, а за кожну наступну хвилину розмови – на 3 копійки менше, ніж за попередню. Плата за дванадцяту а всі наступні хвилини розмови не нараховується. Умови дійсні для дзвінків абонентам усіх мобільних операторів країни. Скільки за умовами акції коштуватиме абоненту цього мобільного оператора розмова тривалістю 7 хвилин?
Розв’язання: маємо арифметичну прогресію, у якої перший член дорівнює 33, різниця - (-3). Потрібно визначити суму семи її членів.

,

,

=

168 коп. =

=

= 1грн. 68коп.

Відповідь: 1грн. 68коп.

), якщо = 24, = .

Розв’язання: = (1); (2);

Поділивши (1) на (2), маємо = 24 : ( ) = - 216, звідки q = - 6.
Відповідь: q = - 6.

залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходиться 7 місць, а у кожному наступному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у цьому залі?

Розв’язання: математичною моделлю цієї задачі є арифметична прогресія, перший член якої дорівнює 7, різниця – 2, кількість членів – 18. Потрібно знайти суму вісімнадцяти членів. Тому

=

48

Відповідь: у цьому залі 432 місця.