Презентация, доклад к факультативному занятию по математике на тему Делимость чисел

419 и 421, 431 и 433, 461 и 463.

Например, в первой сотне это 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19,

29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73.

Назовите числа-близнецы из пятой сотни.

= 2р - 1, где р – простое число.

М2 = 22- 1 = 3; простое число;

М3= 23- 1 = 7; простое число;

среди них составные числа.

Решение.
М5 = 25- 1 = 31; простое число.
М7 = 127 - простое число.
М11 = 2047 – составное (23∙89).
М13 =8191 –простое.

Ответ: М11 – составное число.

1 = 2147483647.

него самого.

6 – совершенное число, так как 6 = 1 + 2 + 3.

Найдите ещё несколько совершенных чисел

Просто ли это сделать?

В чём трудность?

1 = 23- 1 = 7,
2p–1(2p – 1) = 23–1(23 – 1) = 4∙7 = 28. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Если р = 5, 2р- 1 = 25- 1 = 31,
2p–1(2p – 1) = 25–1(25 – 1) =16∙31 =496.
496 = 1 + 2 + 4 + 6 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Если р = 7, 2р- 1 = 27- 1 = 127,
2p–1(2p – 1) = 27–1(27– 1) =64∙127 =8128.
8128 = 1 + 2 + 4 +8 + 16 + 32+ 64 + 127 + 254 + 508 +1016 + 2032 + 4064.

Ответ: 28, 496, 8128.

разложить на простые множители.

504 = 2×2×2×3×3×7

504 = 3×2×7×3×2×2 = 7×3×2×2×3×2

Основная теорема арифметики.
Любое натуральное число, отличное от единицы, раскладывается на произведение простых чисел единственным образом.

Запись числа в виде произведения степеней в порядке возрастания их оснований называется каноническим разложением числа:
504 = 23×32×71

на данное простое число р.

Число делится на 2, если оно оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то есть если оно чётное.

Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Число делится на 3 или на 9, если сумма цифр числа делится на 3 или на 9 соответственно.

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на чётных местах, и суммы цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.

Например, число 1969 делится на 11, т.к. сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна 18, а на нечётных - 7.

Число делится на 7 или на 13, если на эти числа делится разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами; эта операция уменьшает число знаков в числе, и последовательное её применение приводит к трёхзначному числу.
Например, 825678 делится на 7, т.к. 825-678 = 147 делится на 7.

записываемое двумя последними цифрами этого числа, делится на 4.


Число делится на 8, если число, записываемое тремя последними цифрами этого числа, делится на 8.

и на их произведение.

на 6 = 2×3, на 12 = 3×4, на 15 = 3×5, на 18 = 2×9 и т.д.

На 6 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 3.

Например, 12432 делится на 6, так как делится и на 2 и на 3.

На 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель).

Например, 75348 делится на 12, так как делится и на 3 и на 4.

На 15 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 5.

Например, 23520 делится на 15, так как делится и на 3 и на 5.

На 18 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 9.

Например, 13518 делится на 18, так как делится и на 2 и на 9, и т.д.

и сумма их обязательно делится на это же число.

Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.

Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.

Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.

к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.

делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.
Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.

Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.
Ложное. Пример: 6 ⋅ 10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся

В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.
Ложное. Пример: 6 ⋅ 10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.

Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.
Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.

все данные числа делятся без остатка.
НОД (48, 36, 24)=

Взаимно простые числа –
Числа у которых наибольший общий делитель равен единице.
Например, НОД (16, 27) =1

чисел 2 и 3.

Наименьшим общим кратным нескольких чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.
Например, 6 – наименьшее общее кратное для 2 и 3.

Общим кратным данных чисел называется любое натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел (без остатка).

{1, 2, 4, 5, 10, 20}
Д(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
Найдем объединение и пересечение этих множеств.
Д(20) ∪ Д(30) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30}
Д(20) ∩ Д(30) = {1, 2, 5, 10}.
НОД (20,30) = 10,

НОД нескольких чисел – это наибольший элемент из пересечения множеств делителей этих чисел.

18, 84; В) 63, 84; Г) 18, 63, 84.

Ответ:
А) НОД(18,63) = 9; НОК(18,63) = 126.
Б) НОД(18,84) = 6; НОК(18,84) =252.
В) НОД(63,84) = 21; НОК(63,84) =252.
Г) НОД(18,63,84) = 3; НОК(18,63,84) = 252.

287) =

НОД(164, 287) =

НОД(164, 123) =

НОД(41, 123) =

НОД (41, 82) =

НОД (41, 41) = 41.

Удобен, если числа большие.

1. Любой общий делитель чисел а и b (а > b) является делителем числа (а - b).

2. Любой общий делитель чисел b и (а - b) является делителем числа а.

НОД (а, b)= НОД (b, а - b)

НОД(451, 287) =

частей - ещё на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2013 частей?

Решение.
В 1 раз - 8 частей,
во 2 раз - 15 разных частей (1∙7+8),
в 3 раз - 22 части (2⋅7+8) и т.д.,
каждый раз количество кусочков увеличивается на 7 частей,
общее количество частей всегда имеет вид К⋅7+8.

2013, его нельзя представить в виде К⋅7+8.
(2013 – 8 =2005, а 2005 не делится на 7).
Значит, Вася не сможет разорвать газету на 2013 частей.
Ответ: нет.

найти закономерность:
3¹=3, 3²=9; 3³=27; 3 =81; 3 =243; 3 =729, 3 =2187 и т.д.
последние цифры степени числа 3 начинают повторяться в определенном порядке: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… и т. д.
повторяются всего 4 цифры (3, 9, 7, 1),
то есть число равное 3 , где n кратно четырём, всегда оканчивается на 1.
Разделим степень числа 3 на 4: 2013=4∙500 +13 = 4∙500 +12 + 1,
отсюда 32012 оканчивается на 1, а
3 оканчивается на 3.
Ответ: 3.

2013

4

5

6

7

п

2013

числа.
k называется неполным частным от деления n на m, а r – остатком.

Задание 16. Запишите:
а) формулу чётного числа;
б) формулу нечётного числа;
в) формулу числа, кратного числу b;
г) формулу числа, которое делится на 17 с остатком 11.

n = 17m+11;

n = 2m+1;

n = bm

n = 2m

равен r1, а остаток от деления n2 на m равен r2.
Тогда:
Остаток от деления n1+n2 на m равен остатку от деления r1+r2 на m;
Остаток от деления n1–n2 на m равен остатку от деления r1–r2 на m;
Остаток от деления n1×n2 на m равен остатку от деления r1×r2 на m.

от деления на 25 значения выражения 53⋅55 + 27⋅24 - 101⋅29.
Решение.
Остаток от деления на 25 числа 53 равен 3, числа 55 равен 5, числа 27 - 2, числа 24 – 24, числа 101 - 1, числа 29 – 4.

Используя основные свойства остатков, получаем:

Остаток от деления на 25 произведения 53⋅55 равен 15 (3⋅5 =15, 15: 25 =0 (ост.15)).
Остаток от деления на 25 произведения 27⋅24 равен 23 (2⋅24 =48, 48:25= 1(ост.23)).
Остаток от деления на 25 произведения101⋅29 равен 4 (1⋅4=4, 4 : 25 = 0(ост.4)).
Тогда остаток от деления на 25 значения выражения 53⋅59 + 101⋅29 - 27⋅24 равен
остатку от деления на 25 числа 34 (15+23 – 4), то есть 9.
Ответ: 9.

15?1000000…0015666…901009010

Решение.
Попробуем начать делить число 100…00 на 15.




Очевидно, что в результате деления остаток будет равен 10.

Ответ. 10.