Презентация, доклад исследовательской работы по математике на тему; Треугольник Паскаля

Паскаля»

Белгород, 2017

Выполнила:
ученица 8 «Б» класса
Харитонова Вероника
Руководитель:
учитель математики
Жинкина Н.Е.

теме;
проанализировать свойство возведения в любую степень двучлена (a+b);
выявить ряд закономерностей треугольника Паскаля;
попытаться применить треугольник Паскаля в решении ряда практических задач

математическое описание выявленной закономерности и др.);
аналитический ( проводился анализ выявленной закономерности возведения в степень двучлена),
практический ( применение выявленного ряда закономерностей треугольника Паскаля в новых, измененных ситуациях)

арифметический треугольник («треугольник Паскаля»), позволяющий легко подсчитывать биномиальные коэффициенты.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)2=a2+2ab+b2

Выведем соответствующее тождество для четвертой степени:

(a+b)4 =(a+b)2 * (a+b)2 = (a2 + 2ab + b2 ) * (a2 +2ab+b2)= a4 + +2a3 b+a2b2 + 2a3b+4a2b2 + 2ab3 +a2b2 + 2ab3 +b4 = =a4+4a3b+6a2b2 +4ab3+b4.

причем расположим их в виде такого треугольника:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

единиц, а каждое число, стоящее внутри треугольника, представляет собой сумму чисел, стоящих над ним в предыдущем ряду справа и слева: 2=1+1, 3=1+2 = 2+1, 4=1+3=3+1, 6=3+3.Если это не случайно, имеет место общий закон, то для (a+b)5 должны получиться коэффициенты: 1, 1+4=5,4+6=10, 6+4=10,4+1=5 и 1,т.е.

(a+b)5 = a5+ 5a4 b+ 10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5

Можно проверить:
(a+b)3 * (a+b)2 = (a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 ) * (a2 + 2ab+b2 ) = a5 +2a4 b+ a3 b2 + 3a4b + 6a3 b2 +3a2 b3+ 3a3b2 +6a2 b3 + 3ab4 + a2 b3 + 2ab4 + b5 = a5 + 5a4b+ 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5

Но тогда

(a+b)6= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

Таким образом, мы подметили закон образования коэффициентов степени двучлена, или, как его ещё называют, биномами.

горизонтального ряда с первого до стоящего выше А.

35=1+3+6+10+15

с первого до стоящего левее А

56=1+5+15+35

прямоугольника, ограниченного вертикальным и горизонтальным рядами, на которых стоит А.

15-1=1+1+1+1+1+2+3+4

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Это свойство можно обосновать тем, что переменные a и b входит в выражение симметричным образом и, изменив порядок слагаемых можно получить равенство соответствующих коэффициентов.

2. Каждое число таблицы в строках, с номером больше второго, равно
сумме двух вышестоящих чисел.
Умножая разложение n-ой степени двучлена a+b на двучлен (a+b),я получила, что коэффициент при буквенном множителе akbm, где k+m=n+1, получается при сложении коэффициентов при ak-1bm и akbm-1, то есть двух вышестоящих чисел.

3. Второе число каждой строки соответствует её номеру.
Данное свойство является следствием свойства 2.

4. Третье число каждой строки равно сумме номеров строк ей предшествующих.

Докажем это свойство, положив a=1 и b=1. С одной стороны получим сумму биномиальных коэффициентов, а с другой -2n .

Если n – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на n.

7. Третье число каждой строки является треугольным, то есть, имея соответствующее количество шаров равных диаметров, их можно выложить в виде треугольника (треугольными являются числа: 1; 3; 6; 10;15; 21; 28 и т.д.).
Каждое последующее треугольное число получается прибавлением к предыдущему треугольному числу номера числа в ряду (1; 3; 6; 10;15; 21…).
Но каждое третье число любой строки с номером больше 2 равно сумме третьего числа (предыдущего треугольного) и второго числа (номера строки) предыдущей строки.

8. Четвёртое число каждой строки является тетраэдрическим, то есть, имея соответствующее количество шаров равных диаметров, их можно выложить
в виде тетраэдра (тетраэдрическими являются числа: 1; 4; 10; 20; 35 и т.д.).
Каждое последующее тетраэдрическое число получается прибавлением к предыдущему тетраэдрическому числу треугольного числа с тем же номером.
Но каждое четвертое число любой строки с номером больше 3 равно сумме четвёртого числа (предыдущего тетраэдрального) и третьего (треугольного числа) предыдущей строки.

Это следует из того, что сумма всех чисел строки – чётное число
(степень 2), сумма всех четных чисел - чётна. Значит, сумма нечетных чисел - чётна, а, следовательно, нечётных чисел должно быть чётное количество.
10. Если все нечётные числа треугольника Паскаля закрасить чёрным цветом, а все чётные – красным, то получится, так называемый, треугольник Серпинского ( назван в честь польского математика, получившего его в 1915 году).

На каждом перекрестке, начиная с А , пришедшие туда люди делятся пополам , половина идёт по направлению t . половина по направлению m.Сколько человек придёт в пункт B, C, D..., I соответственно.


А
m t

B С D E F G H I

4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

B С D E F G H I

В итоге с помощью треугольника Паскаля мы легко и просто вычислили ответ.
В пункт B придёт 1 человек, в пункт C-7 человек, в D – 21, в E-35, в F-35, в G-21, в H- 7 и в I-1.
Задача решена.

свойства треугольника Паскаля;

выбранная тема является традиционной для олимпиадных заданий, поэтому имеет практическое применение

редакция физико-математической литературы, 1986
Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 1990
http: // www. 1 september.ru
http://www.arbuz.uz/u_treug.html
http://ru.wikipedia.org/wiki