Презентация, доклад на тему Подборка увлекательных и познавательных задач с применением логики и пространственного мышления

Вниз по наклонной.

Увеличение пруда.

Геометрический принцип.

Ребро куба.4 треугольника.

Диагональ кирпича.

Девять точек.

Бочка наполовину.

Задачи на построение.

Разные способы.

1

2

Выбор ответов.

1

2

Чтобы указать пауку кратчайший путь
к его жертве, развернем лист
и соединим П и М отрезком.

Понятно, что длина пути не зависит
от того, согнут или развёрнут лист.

Решение задачи не изменилось
бы, даже если бы мы «склеили»
две половинки листа так,
чтобы паук оказался на одной
стороне листа, а муха - на другой.

Пауку, чтобы добраться до мухи, надо доползти до края, а затем уже ползти по
другой стороне листа. Длина искомого пути равна длине получившегося отрезка.

М

П

Проверим это предположение на развёртке граней куба.

Предположенный вами путь отличается от реального.

Проанализируйте и сделайте вывод:

2.Задача о пауке и мухе.

Проложим оптимальный путь на самом кубе.

Решение

Вычертим развертки граней и покажем на них движение паука в первом (по двум боковым граням) и втором случаях ( по боковой и верхней граням).

Длиннее первый путь, следовательно, необходимо, выбирая самый короткий, двигаться сначала по боковой, затем по верхней грани.

4.Задача о пауке и мухе.

6 м

4 м

3 м

Первый путь:

Второй
путь:

Третий путь:

Ответ:
минимальное
расстояние

1. Возьмите произвольную точку С на плоскости.

2. Проведите две прямые через концы
отрезка А и В и эту точку С.

3. В образовавшейся трапеции
проведите диагонали, получится
Д-точка пересечения
диагоналей.

4. Проведите прямую через точку С и точку Д, она разделит отрезок АВ
пополам.

А

В

С

Д

Решение:

2. Отразим точку А симметрично
относительно этих прямых.
Получим точки А1 и А2.

3. Обе точки лежат
на стороне треугольника,
противоположной вершине А.
Проведём через точки А1 и А2 прямую.

А1

А2

4. Точки пересечения В и С этой прямой с двумя биссектрисами, не проходящими через А, будут вершинами искомого треугольника.

В

С

А

5. Строим треугольник АВС.

Решение: 1. Выделим прямые,
которые не содержат точку А.

Пусть длина окружности Земли = С (м), апельсина = с (м).
Радиус Земли равен ( )м, а радиус апельсина ( )м.

Далее вообразим, что окружность каждого
обруча увеличилась на 1м. Чей зазор
больше – апельсина или Земного шара?

Ответ: зазоры равны.

После прибавки к обручу 1 м окружность
Земли стала равна ____ м, окружность апельсина _____ м.

Радиусы же их будут R= , r= .

Зазор есть разность между новым и старым радиусами.

Решение:

С+1

с+1

Если вычесть, то получим одинаковые приращения:

Шар и цилиндр потратят часть энергии на вращение, что соответственно уменьшит их скорость.

Решение:

Первым достигнет низа _____, вторым – _____, последним - _____

КУБ

ШАР

ЦИЛИНДР

Какой геометрический принцип лежит в разбивке букв по следующим группам:
I -А, Д, М, П, Т, Ф, Ш;
II -В, Е, З, К, С, Э, Ю;
III - О, Ж, Х, Н,
IV -Б, Г, Л, И, Р, У, П, Ч, Ь, Ъ, Ы, Я?

Решение: Третья сторона треугольника
должна быть больше разности
двух других сторон (чем3-1=2)
и меньше суммы этих
сторон (чем 3+1=4).
Это натуральное
число 3.

буквы симметричны относительно вертикальной оси;

буквы симметричны относительно горизонтальной оси;

буквы симметричны относительно обеих осей;

буквы не имеют осей симметрии.

Задача 2.

Периметр треугольника
равен 7 дм.

Как из шести спичек, не ломая их,
сложить четыре треугольника,
каждая сторона которых
равна одной спичке?

Решение:
Из шести спичек составляется правильная треугольная пирамида.

Ответ: длина ребра 6.

Решение

Потребуется три кирпича, которые следует уложить следующим образом:

Прикладывая линейку к выступающим угловым частям ( точки А и В), измеряем длину диагонали кирпича.

Диагональ кирпича.

Решение

Комментарий: Часто мы не можем найти решение потому, что наш разум замыкается в площади рисунка. А нигде не сказано о том, что за его пределы выходить нельзя.

Вывод: Для того чтобы понять систему, надо… из нее выйти.

Девять точек.

Решение

Если вода в бочке налита ровно наполовину, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришелся как раз
у края бочки, мы увидим, что высшая точка дна находится также на уровне воды. Это потому, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружностей бочки, делит ее
на две равные части.

ровно наполовину меньше больше половины

Бочка наполовину.

Отложите угол пять раз, тогда получится угол .
Так как разность развёрнутого угла и будет равна ,

Задача1.

то разделим угол в на два равных угла и получим угол в .

Задача2.

Решение

Внутри угла дана точка А. Постройте
прямую, проходящую через точку А
и отсекающую на сторонах угла
равные отрезки.

О

В

Воспользуйтесь
тем фактом, что если биссектриса совпадает с высотой,
то треугольник равнобедренный.

1. Строим биссектрису угла с помощью циркуля и линейки.

2. Через точку А к биссектрисе строим перпендикулярную
прямую.

3. Получаем точки В и С, такие что ОВ=ОС.

С

Способ 1. Рассмотрим прямоугольные

Способ 2. Рассмотрим треугольник АВС.

Способ 3.
Из треугольника АВС находим

Т.к. углы КМА и АМС -смежные, то

Способ 4.
Из тр-ка АВС находим

Т.к. углы РМС и АМС -смежные, то

(сумма углов четырёхугольника)

Т.к.углы КМР и АМС –
вертикальные, то

1способ:

При доказательстве использовались теорема о сумме углов треугольника и свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

2способ:

В данном способе использовалась теорема
о внешнем угле треугольника, свойство
углов при основании равнобедренного тр-ка,
теорема о смежных углах.

3способ:

Равноудалённость
точек A,B,C от D
означает, что треугольник
вписан в окружность R=AD=DB=DC.
По свойству вписанного угла .

1.Тестовые вопросы.

1) Сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон.
2) Угол любого треугольника меньше суммы двух других углов.
3) У любого треугольника существует хотя бы один тупой внешний угол.
4) В равных треугольниках медианы равны.

4. Укажите в ответе номера верных утверждений:

1. Радиус окружности с центром в т.О равен 13 см,
хорда АВ=24 см. Найти расстояние от хорды АВ
до параллельной ей касательной.

13+5=18 см

2. В треугольнике АВС угол С прямой, АС=12, cos САВ=0,6.
Найти АВ.

3. Найдите величины углов параллелограмма АВСД, если
биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный

=12:0,6=20.

НЛУ равны,

А

В

С

М

Р

2. Сторона ромба равна 34, острый угол . Высота ромба,
опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два
отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Из прямоугольника со сторонами 10 см и 8 см вырезан
квадрат со стороной 5 см. Найдите площадь оставшейся части.

17 и17.

=4 см

1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
2) Сумма смежных углов равна 180 град.
3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

1) Существуют две различные прямые, не проходящие через одну точку.
2) Диагонали ромба равны.
3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.
4) Если в треугольнике два угла равны, то это – равнобедренный треугольник.

4. К окружности с центром в точке О проведены
касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус
окружности, если АВ=15 см, АО=17 см.

R=8 см.

Укажите в ответе номера верных утверждений:

2.Тестовые вопросы.

80-25=55

1)Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
параллельную этой прямой.
2)Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3)Если в ромбе один из углов равен 90, то такой ромб — квадрат.

5. Укажите в ответе номера верных утверждений:

4. В угол С величиной вписана окружность, которая
касается сторон угла в т.А и В.Найти величину угла АОС.

3. Основания трапеции 4 и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю
линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.

2. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны.
Найдите угол .

1. Сколько осей симметрии имеет фигура?

10:2=5 см

пять

1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Вертикальные углы равны.
3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

Укажите в ответе номера верных утверждений:

1. Радиус окружности ОВ пересекает хорду МР в её
середине-точке К. Найдите длину хорды МР, если
КВ=1 см, радиус окружности 13 см.

МР=2МК=10 см.

2. Прямые m и n параллельны. Найдите угол 3, если

3. Средняя линия трапеции равна 11, меньшее основание
равно 5. Найдите большее основание трапеции.

2*11-5=17.

1) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.
2) В подобных треугольниках соответствующие углы равны.
3) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен
половине гипотенузы.

1. Укажите номера верных утверждений:

2. Найдите площадь треугольника, изображенного
на рисунке.

3. Сторона ромба равна 20,а острый угол равен . Найдите
длину меньшей диагонали.

4. В окружности с центром О проведены диаметры АД и ВС.
Центральный угол АОС равен 112 град. Найдите вписанный
угол АДВ.

S=(15+6)*8:2=84

d=20

1) тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение прилежащего катета к противолежащему катету;
2) ромб, диагонали которого равны, является квадратом;
3) противоположные углы параллелограмма равны между собой;

Укажите номера верных утверждений:

1. Точки А и В делят окружность на две дуги, длины
которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла,
опирающегося на меньшую из дуг.

3. Найдите площадь треугольника, если высота, проведенная
к одной из ее сторон, равна 11, а средняя линия, параллельная
этой стороне, равна 10.

2. Какой угол(в градусах) образуют минутная и часовая стрелки,
когда часы показывают ровно 4 часа.

S=11*10=110

1) Вертикальные углы равны.
2) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению
двух его катетов.
3) В равнобедренном треугольнике высота является медианой и
биссектрисой.
4) Через любые две точки проходит прямая и притом только одна.

1. Укажите номера верных утверждений.

2. В ромбе ABCD известны диагонали AC=6 и BD=8. Найдите
длину вектора .

3. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника
равна . Найдите площадь треугольника.

4. В четырехугольнике ABCD AB=7, BС=13 и СD=11. Найдите
четвертую сторону четырехугольника, если в него можно вписать окружность.

АВ+СД=ВС+АД,

АД=(7+11)-13=5.

5. Укажите номера верных утверждений.

1) Если три угла одного треугольника равны трем углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Сумма смежных углов равна .
3) Любая медиана равнобедренного треугольника является его
биссектрисой.

1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC
внешний угол при вершине C равен . Найдите
величину угла ABC.

4. Найдите площадь трапеции.

3. Найти тангенс угла АОВ.

2. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5.
Найдите больший острый угол.

4+5=9 частей,

9.Тестовые вопросы.

В треугольнике может быть
только один тупой угол.
2) котангенсом острого угла
прямоугольного треугольника
называется отношение
противолежащего катета к
прилежащему катету.
3) Основания трапеции равны.
4) Центральная симметрия
сохраняет расстояния между точками.

5. Укажите номера верных утверждений.

1. Найдите угол АВС равнобедренной трапеции АВСД, если
диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD
углы, равные .

2. Центральный угол AOB равен . Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если R=5.

4. Найти тангенс угла ВАС.

3. Найдите площадь
параллелограмма.

НЛУ равны.

S=(3+7)*4
=40

1) Если вписанный угол равен 58◦, то центральный угол, опирающийся
на ту же дугу окружности, равен 116◦.
2)Около любого ромба можно описать окружность.
3)В треугольнике ABC, для которого
AB =6, BC =8, AC =11, угол
при вершине C – наименьший.

1. Укажите номера верных утверждений.

2. В треугольнике ABC ,BD -биссектриса. Найдите угол ADB.

3. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке.
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

4. Найдите косинус
угла АВС.

5. Найдите угол ДОС, если угол АОВ -развёрнутый.

Угол АДВ -внешний,

S=(5+2)*(3+8):2=38,5

Изменение: Докажите, что если углы треугольника по , то он равносторонний.

5. Подчеркните наиболее общее понятие:
медиана, отрезок, хорда, средняя линия треугольника.

1. Скажите, что общего
у изображенных фигур



и в чём их отличие?

2. Какая из изображенных фигур отличается
от остальных и чем?

А смежных углов?

6. Постройте различные
классификации
четырёхугольников.

квадраты

Разные
размеры

Все фигуры -четырёхугольники

выпуклые -невыпуклые

параллелограммы-
трапеции

правиль.-неправиль.

6. Найдите четвёртое понятие, которое бы так соотносилось с третьим понятием,
как первое со вторым: угол-вершина угла, окружность-…?

1. Подумайте, как связаны первые две фигуры и укажите из набора фигур ту,
что также связана с третьей фигурой.

3. Сравните параллелограмм и трапецию.

2.Поразмышляем.

4. Вам дано 5 спичек. Сложите из них два равносторонних
треугольника.

5. А если спичек будет 6,
то сколько равносторонних
треугольников вы
можете изобразить?

7. Выдели существенные признаки понятий
«равносторонний треугольник»,«ромб».

два



на плоскости

четыре




в пространстве

два

Центр окружности

одна пара II прямых, а не две.

равенство всех сторон

5. Каков вид треугольника, если:
а)один из его углов больше суммы двух других углов;
б)сумма любых его двух углов больше 90?

тупоугольный

остроугольный

6. Что достаточно знать, чтобы утверждать, что на рисунке
треугольники САО и ВДО были равными?

3. Вычеркните одно лишнее слово:
параллелограмм, ромб, трапеция, квадрат, прямоугольник.

8. В чём отличие равностороннего треугольника от квадрата? А чем они похожи?

2. Что общего у прямоугольника и ромба?

7. Исключите из 5 данных объектов лишний.

да

нет

параллельность сторон и диагонали при пересечении делятся пополам.

Равенство
двух сторон.

три-четыре стороны

равные стороны

1. Сравните треугольник и тетраэдр.

Нет, т.к. в треугольнике двух тупых углов быть не может.

6. Найдите два других угла
равнобедренного треугольника,
если один из углов равен

3. Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь круга равна произведению длины его окружности на радиус.
2) В треугольнике АВС, для которого , сторона АВ -наибольшая.
3) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот
параллелограмм— квадрат.

5. Найдите длину
большей высоты
параллелограмма.

4. Найдите в градусах величину
той из двух дуг AC окружности,
на которую опирается угол ABC.

Дуга, на которую опирается угол,
составляет 3/4 всей окружности.

Большая высота
опущена на меньшее
основание (2 клетки)

H=2

1 случай: угол
против основания

2 случай: угол
при основании

2. Дан треугольник со сторонами 8 ,12 и 5. Найдите
периметр треугольника, вершинами которого
являются середины сторон данного треугольника.

5. Найдите площадь трапеции, вершины
которой имеют координаты
А(-1 ; 2), В(-1 ; 5), Д(1 ; 0), С(1 ; 6) .

1. Все фигуры, кроме одной, имеют общее свойство. Какая фигура лишняя?

Если все остальные
фигуры повернуть «вниз
головой», то они не
изменят своего положения.

4. Найдите в градусах величину
той из двух дуг AC окружности,
на которую опирается угол ABC.

Р=4+6+2,5=
=12,5

1. Одна из фигур чем-то
отличается от остальных.
Найдите её.

Каждый треугольник можно получить один из другого поворотом, кроме четвёртой.

2. В каждый из двух квадратов вписаны окружности. Радиус одной из этих окружностей в 3 раза больше радиуса другой.
Площадь большего квадрата равна 18. Найдите площадь меньшего квадрата.

R=3r

а1= 1/3а

S1=2

Данный треугольник является прямоугольным,

т.к. катеты меньшего треугольника 5 и 12.

Угол АВС-
вписанный

Решение:

S=18

4. Сколько всего осей
симметрии имеет фигура?

Ответ: всего 4+4=8 осей.

3.Найдите .

1. Какая из шести фигур
должна занять свободное
место в ряду фигур?

Решение

В строке не хватает круга.

В каждом столбце затушевана одна и та же фигура.
Это кружок. Следует выбрать одну фигуру из двух.

Затушеванная фигура занимает одно из трёх
местоположений внутри фигуры. Делаем отбор.

Решение: Пусть х -одна часть,

(2х+3х)*2=30,

х=3.

Ответ: 3*3=9 большая сторона.

Ответ: периметр площадки 160 м, всего установлено 80 столбиков.

Решение: Если столбиков 21, то отрезков -20 по 2 м.

периметр 4*40=160 м.

Длина одной стороны=40 м,

Столбиков по 20 на каждой стороне, т.к. последний столбик будет первым в
пересчёте их по другой стороне.

3. Одна из фигур чем-то отличается от остальных. Укажите эту фигуру.

А Г Д

Среднюю фигуру нельзя
движением по плоскости
совместить с другими.

Всего столбиков 20*4=80

2. Из пяти спичек выложен пятиугольник.
Переложите спички так, чтобы
получились одновременно
пятиугольник, четырёхугольник и треугольник.

3. Выберите нужную
фигуру из четырёх
предложенных.

В каждом ряду
должно быть 3 вида фигур и 3 типа окраски.

Ответ:

Ответ: кубик З.

А Б В Г Д Е Ж З М

3. Таня начертила 2 прямые линии.
На одной из них она отметила 3 точки, на другой -5 точек. Всего было отмечено 7 точек.
Как она это сделала?

Ответ: Одна из точек должна быть точкой пересечения прямых.

Ответы: 1235

но 4 острых меньше, чем 4*90=360.

1.Сумма всех углов выпуклого многоугольника

Значит, д.б.

2.Количество диагоналей многоугольника
вычисляется по формуле
Уравнение не имеет целых корней.

3.

4.

Ответы: 13

4. Это м.б.
равнобокая
трапеция.

1. Сумма всех углов выпуклого многоугольника
равна 180 градусам. Двух тупых быть не может,
а также все острые не м.б. т.к.будет .
Не может быть также и три острых и прямой.

2. Количество всех диагоналей многоугольника
вычисляется по формуле .

Уравнение имеет корень = 5.

3.

5.