Презентация, доклад на тему Электронный учебник в виде презентаций по теме Функции

В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного И.Ньютоном метода численного решения уравнений. Итогом работ по численным методам решения уравнений является “Анализ определённых уравнений” изданный посмертно в 1830 году. Основной областью Фурье была математическая физика. Он сделал первые открытия по теореме распространению тепла твёрдом теле. В ней он вывел уравнение теплопроводности и развил идеи в самых общих чертах. Разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных, который он применял к ряду частных
случаев (куб, цилиндр и др.). Фурье привёл первые примеры
разложения в тригонометрические ряды Фурье функций, которые
заданы на различных участках различными аналитическими
выражениями.

Жан Батист Жозеф Фурье

НАЗАД

становиться «действительным студентом», в начале 1668 года получает степень магистра, или «мастера искусств». Ещё через год он становиться заведующим кафедрой, сменив И. Барроу.Всю свою дальнейшую жизнь Ньютон приводил в порядок и публиковал открытия, сделанные им в 1665 по 1667 годы в Вулсторпе. Занятия математикой привели Ньютона к созданию ее раздела, который
называется сейчас высшей математикой. Исаак Ньютон изучил
колоссальное число самых различных функциональных
зависимостей и их свойств. Вместо слова функция
Ньютон применял термин «ордината» .

Исаак Ньютон
(1643-1727)

Исаака Ньютона, великого английского ученого, математики считают математиком, физики - физиком, а астрономы - астрономом.
Родился он в местечке Вулсторп, в семье небогатого фермера.
Мальчик увлекался решением сложных математических задач.

НАЗАД

теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - числа взаимно простые. В области математического анализа Дирихле впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов. Значительные работы посвящены механике и математической физик, в теории
гармонической функции.

Петер Густав Лежен Дирихле

Немецкий математик. В 1831-1855 профессор Берлинского, с 1855 Гёттингенского университетов.

НАЗАД

Санкт-Петербурге. Когда Кантор был ещё ребёнком, семья переехала из России в Германию, и именно там началось его обучение математике. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил степень доктора в Берлинском университете. Два года спустя он занял должность приват-доцента в Университете в Галле — респектабельном учреждении, но не столь престижном для математиков, как университеты в Гёттингене или Берлине.

В 1870 г. Кантор доказал, что если функция непрерывна всюду на интервале, то её представление тригонометрическим рядом единственно. Предположим, например, что график аппроксимируемой функции представляет собой прямую, параллельную оси x, за исключением точки x = ½, в которой функция принимает значение 0 вместо 1. Кантор показал, что если условие сходимости в точке x = ½ и нарушается, то всё равно существует единственный тригонометрический ряд, который сходится
к этой функции в остальных точках. То есть другого тригонометрического
ряда, который мог бы аппроксимировать эту функцию, не существует.
Далее Кантор легко распространил свой результат на функции,
имеющие любое конечное число точек разрыва, которые он назвал
исключительными точками3.

Один из его коллег в Галле, Генрих Эдуард Гейне, работал в то время над теорией тригонометрических рядов и он побудил Кантора заняться сложной проблемой единственности таких рядов. В 1872 г. в возрасте 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую весьма общее решение этой проблемы, в которой он использовал идеи, выросшие впоследствии в теорию бесконечных множеств.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

НАЗАД

Лейбниц прославился не только как математик, но и как организатор науки. При его активном участии началось издание первого научного журнала, а позже была создана Берлинская академия наук.

Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646-1716)

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье философа, профессора университета в городе Лейпциге.

НАЗАД

математики XVIII века, в которой Эйлер не достиг бы заметных результатов. Эйлер заложил теорию основы теории графов, ныне используемой во многих приложениях математики. В 1735 году он ослеп на один глаз, а в 1766 году на оба. Эйлер умер в 76 лет и был похоронен на Смоленском кладбище Санкт- Петербурга. Леонард Эйлер ввел в своем учебнике понятие функции, говорил лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». Не было такой области математики XVIII века, в которой Эйлер не достиг
бы заметных результатов. Практически во всех разделах математики
вы встретителибо теорему Эйле­ра, либо формулу Эйлера,
либо метод Эйле­ра.

Леонард Эйлер
(1707-1783)

Леонард Эйлер, швейцарец по происхождению, приехал в Санкт- Петербург в 1727 году.

НАЗАД

в том числе и Казанский. В 1817 году Лобачевский заканчивает этот университет и остается работать в звании магистра- помощником профессора. В 1813 году он пишет научную работу по теории многочленов. 23 февраля 1826 года Лобачевский прочитал публичный доклад о своих исследованиях. Этот день считается днём рождения неевклидовой геометрии. Геометрия Лобачевского не была признана при жизни ученого. Только в 60-х годах XIX века неевклидовой геометрией заинтересовалось новое поколение математиков.

Николай Иванович Лобачевский
(1792-1856 гг.)

В историю Н.И. Лобачевский вошёл как первооткрыватель неевклидовой геометрии.
Н.И. Лобачевский родился в 1792 году в Нижнем Новгороде.

НАЗАД

геометрии. В 1930 году в возрасте 68 лет Гильберт покидает университет и уходит на пенсию, как это и полагалось немецким профессорам в то время. В 1943 году Гильберт умер. Давид Гильберт сказал о теории множеств: « Я считаю, что она представляет собой высочайшее проявление человеческого гения и одно из самых высоких достижений чисто духовной деятельности человека».
Подводя итоги, следует сказать, что в зависимости от природы множеств X и Y термин «функция» в различных разделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, соответствие, преобразование, оператор, функционал и т. д.

Давид Гильберт

Среди математиков начала XX века одно из первых мест занимает профессор Геттингенского университета.

НАЗАД

Готфрид Лейбниц«функция» ввел в математику Готфрид Лейбниц. Он употреблял его в очень узком смысле, связывая только с геометрическими образами. Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом преобразования этой переменной величины и постоянных» . Один из самых замечательных математиков XVIII в.- Леонард Эйлер,- вводя в своем учебнике понятие функции, говорил лишь, что «когда некоторые количества зависят от других
таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».
В развитие понятия функции внесли свой вклад французский математик Фурье В развитие понятия функции внесли свой вклад французский математик Фурье, русский ученый Н.И. Лобачевский В развитие понятия функции внесли свой вклад французский математик Фурье, русский ученый Н.И. Лобачевский, немецкий математик Дирихле
и другие ученые, и общепризнанным стало следующее определение: «Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению величины x соответствует единственное определенное значение величины y».
Однако некоторых математиков подобное определение не совсем удовлетворяло. Ведь в нем термин «функция» определяется через понятия, которые достаточно неопределенны и расплывчаты («зависимость», «соответствие» . Некоторое успокоение
пришло с созданием теории множеств, начала которой
Были заложены в концеXIX в. Георгом Кантором.

вида y=kx+b, где х – независимая переменная, k и b-некоторые числа.

Построим график линейной функции y=2x-3.

Линейная функция

координаты которых указаны в таблице. Все отмеченные точки лежат на одной прямой.
Эта прямая является графиком линейной функции y=2x-3.

Вообще, графиком линейной функции является прямая.

0

Х

У

Для построение графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.

НАЗАД

Построим график у=2х-3

графиком является прямая.
Используя формулу У=2х+3 , найдём координаты двух точек графика:
Если х=-2, то у = 2*(-2)+3=-1
Если х=1, то у = 2*1+3=5

0

У

Х

Отметим точки А(-2;-1) и В(1;5),поведем через эти точки прямую. Прямая АВ есть график функции у=2х+3.

А

В

НАЗАД

где х- независимая переменная, k- не равное нулю число.

Отсюда следует, что графиком прямой пропорциональности служит прямая. Эта прямая проходит через начало координат, так как х=0 значение у=0.

Прямая пропорциональностью является частным случаем линейной функции, так как формула y=kx получается из формулы y=kx+b при b=0.

Эта прямая проходит через начало координат, так как при х=0 значение у равно 0.

А теперь построим график функции у=2х!

Прямая пропорциональность

графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Пример: Построим график функции у=2х.

График функции у=2х
–прямая пропорциональности.

0

У

Х

НАЗАД

коэффициентами при х. Выясним, пересекаются ли эти графики.

Построим графики данных функций:

у=4х-2

у=3х+1

0

Х

У

Если к1≠к2, то это уравнение имеет единственный корень. В этом случае графики функций пересекаются.

НАЗАД

у=4х-2

которые пересекаются, либо параллельны.

Рассмотрим три случая взаимного расположения графиков линейных функций:

3.Графики двух линейных функций, заданных формулами вида х=кх+в, пересекаются в одной точке .

2.Графики двух линейных функций, заданных формулами вида х=кх+в, параллельны.

1.Графики двух линейных функций, заданных формулами вида х=кх+в, пересекаются.

коэффициентами при х. Выясним, пересекаются ли эти графики.

у=4х-3

у=4х+1

0

У

Х

Если к1=к2 и в1≠в2, то уравнение не имеет корней. В этом случае графики функций параллельны.

НАЗАД

одной точке (0;в).

0

У

Х

Рассмотрим, например, графики функций, заданных формулами у=4х+1, у=2х+1 и у=3х+1 с одинаковыми значениями в. Выясним, пересекаются ли эти графики.

у=4х+1

у=2х+1

у=3х+1

НАЗАД

прямая.

2) Множество значений
функций

3)На промежутке [0; + ∞] функция возрастает.

4)На промежутке (- ∞; 0) функция убывает.

функции у=х2

y=x 3 возрастает
на всей числовой прямой.

1)Область определении функций
– вся числовая прямая

2) Множество значений
функций

по математике. X- множество учеников в классе, y- множество оценок (целые числа от 2 до 5), то можно сказать, что каждому элементу из x составлен единственный элемент из y.

3)

Функциональная зависимость:

1)Каждый ученик в школе учиться в определённом классе.
Множество x- множество учеников в данной школе, а через y- множество классов, то можно сказать, что каждому элементу множества x составлен единственный элемент множества y ( т.е. тот класс, где данный ученик учиться)

Ф. И. УЧ-СЯ оценка

Иванов Ваня 3
Смирнов Саша 4
Поботаева Катя 5
Сидоров Петя 2

7 б

9 в

11а

3б

11.02.1995

12.11.1997

4.01.1992

1.12.1990

НАЗАД

зависимой переменной. Такую
зависимость называют функциональной зависимостью или функцией.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой
переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента.
Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют
область определения функции.
Все значения, которые принимает зависимая переменная, называют-
множеством значения функции.

Что такое функция?

Пример: Путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения. Обозначим время движения автомобиля (в часах) буквой t, а пройденный путь (в километрах) буквой s. Для каждого значения переменной t, где t >=0,можно найти соответствующее
значение переменой s. Например,
если t= 0,5 , то s= 50*0,5=25;
если t= 2, то s=50*2= 100;

Зависимость переменной s от переменной t выражается
формулой
S=50t

В этом примере t является независимой переменной, а s- зависимой переменной. Переменную t , значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную s, значения которой определяются выбранными значениями t, - зависимой переменной.