Презентация, доклад на тему Элективный курс Золотая пропорция

на 8 часов. Основные формы организации
учебных занятий: лекция, объяснение, беседа, практическая работа,
семинар.

Задачи курса состоят в следующем:
Расширить сферу математические знаний учащихся;
Развить эстетическое восприятие математических фактов;
Расширить общекультурный кругозор учащихся посредством
знакомства их с лучшими образцами произведений искусства;
Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить
возможности овладения им с точки зрения дальнейшей
перспективы.

Критерием успешного изучения данного курса служит получения
оценки «зачтено»(четыре или пять по 5-ти бальной шкале).

роли математики в искусстве волновал еще древних греков, причем свой
интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше время геометрия – необходимый элемент общего образования и
культуры, представляет большой исторический интерес, имеет серьезное практическое применение и обладает внутренней красотой.
Иогану Кеплеру принадлежат слова:







«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении».
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. В истории утвердилось еще одно название – «золотая пропорция».
Пусть С принадлежит АВ и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка.

Золотым сечением называется такое деление отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей.

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в искусстве, встречается оно и в живой природе, что дало повод математику XVI в., другу известного художника Леонардо да Винчи, монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божественной, великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции он употребляет много слов, но в истории утвердились два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение.

АВ.

отрезок АВ,
восстановим в точке В перпендикуляр к АВ
на нем отложим точку D таким образом, чтобы BD = 1/2АВ,
далее, соединив точки А и D, отложим DE = BD, и наконец, АС = АЕ.
Точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка АВ.

А

В

1/2АВ

1/2АВ

D

Е

С

золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая
размеры картины, художники старались, чтобы отношения ее сторон равнялось j. Такой прямоугольник стали называть золотым.
Построим золотой прямоугольник по описанным ниже указаниям, дошедшим до нас со времен Евклида.
1. Начертите квадрат и разделите его на два равных прямоугольника.
2. В одном из прямоугольников проведите диагональ АВ.
3. Циркулем проведите окружность радиуса АВ с центром в точке А.
4. Продолжите основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведите под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.
Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MNKP и вычислите отношение большей стороны к меньшей. (Отношение должно быть 1,6.)

Свойства золотого прямоугольника.
Золотой прямоугольник обладает интересными свойствами. Рассмотрим два из них, тесно связанных друг с другом.
I с в о й с т в о. Если от золотого прямоугольника со сторонами а и b (где а > b) отрезать квадрат со стороной b, то получится прямоугольник со сторонами b и а – b, который тоже золотой. Продолжая этот процесс мы каждый раз будем получить прямоугольник меньших размеров, но опять же золотой.
I I с в о й с т в о. Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой спиралью. Точка S, с которой она начинает раскручиваться, называется полюсом. Отрезки соединяющие точку S с точками спирали, называют полярными радиусами.

M

N

B

C

A

K

P

звезда)

Пентаграмма.
Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый.
Звездчатый, пятиугольник называется пентаграммой (от слова «пенте» – пять). Он служит символом Пифагорейского союза религиозной секты и научной школы во главе с Пифагором (около 580–500 гг. до н. э.), которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т. д. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.
Построим звездчатый пятиугольник. Для этого из центра окружности последовательно отложим углы с вершиной в центре окружности, равные стороны углов пересекут окружность в пяти точках. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т. е. знаменитую пентаграмму.
Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

и золотой треугольник. 

отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618. В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения

природы.
Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготения и инерции. Золотая пропорция – символ этого
взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого
роста: стремительный рост побега до зрелости и замедленный рост до момента цветения, когда достигшее полной силы растение
готовится дать жизнь новому побегу.
Одним из первых проявление золотого сечения в природе подметил немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1570–1630 гг.). С
XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

 

В ящерице длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

 

В биологических исследованиях было показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

"упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.
Рассмотрим побег цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.
Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

ученые, модельеры, дизайнеры  делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.
Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост  человека эквивалентен числу 1.618.
Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:
- расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618
- расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618
- расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618
- расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618
- расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618
- расстояние от кончика подбородка до  верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618
- расстояние от кончика подбородка до  верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618 
Рука человека
Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем  формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.
Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца)Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой,
чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по
мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов,  существуют только у
людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице
человека и есть идеал красоты для человеческого взора.
К примеру, если мы суммируем  ширину двух передних верхних зубов и разделим эту
сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать,
что строение этих зубов идеально. На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения:
Приведем несколько таких соотношений
- Высота лица / ширина лица,
- Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.
- Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки  соединения губ
- Ширина рта / ширина носа,
- Ширина носа / расстояние между ноздрями,
- Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.
Золотая пропорция в строении легких человека
Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физикоанатомических
исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое
сечение.
Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности.
Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее,
а другой (правый) короче.
Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во
всех более мелких дыхательных путях. 6 Причем соотношение длины коротких и
длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Золотое сечение в чертах лица человека как  критерий совершенной красоты.

она является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства.В
книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя,
и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они
будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Одним из красивейших
произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.) – храм Афины.Размеры Парфенона хорошо изучены.
Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1:2, а план образует прямоугольник со сторонами 1 и .Известно,
что диагональ прямоугольника имеет размер , следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии
Парфенона. Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей
золотую пропорцию.В работе В. Смоляка, посвященной изучению пропорции Парфенона, установлен закономерный ряд золотых
пропорций. Приняв за единицу ширину торцевого фасада храма, Б. Смоляк получил прогрессию, состоящую из 8 членов ряда:
1; φ ; φ 2; φ 3; φ 4; φ 5; φ 6; φ 7; где φ = 0,618.

На плане пола Парфенона также
можно заметить"золотые прямоугольники":





 

поверхности не плоские, а слегка изогнутые. Зодчие Греции знали, что строго горизонтальная линия и плоская поверхность наблюдателю издалека представляются прогнувшимися в середине.
Другим примером использования «золотой пропорции» из архитектуры древности является Пантеон. Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб.
Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле, в Голицынской больнице. Еще один шедевр Москвы – дом Пашкова является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Скульптурные сооружения, памятники, воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиг и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой
золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатления гармонии, красоты, поэтому скульптуры использовали их в своих произведениях. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым
отношениям.Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского
(который считается одним из чудес света) и Афины Парфенос.

в едином целом. По определению одного из
пифагорейцев, Филолая, гармония есть «согласие разногласного» В состоянии гармонии заложена изначальная противоречивость мира.
Многочисленные исследования показывают, что состояние гармонии достигается, когда соотношение порядка (предсказуемого,
подчинения системным законам) в поведении элементов системы и хаоса (непредсказуемого, свободы выбора) тяготеет к «золотой
пропорции» (j = 0,618). «Золотая пропорция» вытекает из принципа подобия части и целого - это есть такое деление единого целого на
две части, при котором меньшая часть (ассоциированная со свободой выбора) относится к большей (ассоциированной с системными
законами) так же, как большая часть относится к целому .

Только те элементы системы, которые несут в себе «золотое» соотношение между «свободой выбора» и закономерностью могут устойчиво существовать длительное время, то есть обладают живучестью. Особенно характерно подчинение закону гармонии для биосистем, которые буквально «напичканы» золотыми пропорциями. Не случайно магическим символом жизни считается пентаграмма (пятиконечная звезда), в которой можно насчитать более двухсот золотых сечений.

себе гармонию, и отталкивает дисгармония. Гармоничные структуры мы называем словом «красота». Красивое тело построено по закону золотого сечения .

Нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". Композиция портрета построена на"золотых треугольниках".

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса: