Презентация, доклад по информатике Булева алгебра (8 класс)

специальный математический аппарат, описывающий основу работы схем и устройств компьютера.
Высказывание – любое утверждение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.

Полное соответствие между логическими высказываниями в булевой алгебре и цифрами в двоичной системе счисления позволяет описывать работу логических схем компьютера, проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики.

1, то для n переменных образуется множество разнообразных сочетаний или наборов входных переменных. Количество функций N от n аргументов выражается следующей зависимостью:
(1.2.1)

Для n=0 определены две основные функции, не зависящие от каких-либо переменных:
y0, тождественно равную нулю (y0≡0);
y1, тождественно равную единице (y1≡1).
Техническая интерпретация:
y1≡1 – генератор импульсов (при отсутствии входных сигналов на выходе этого устройства всегда имеются импульсы – 1);
y0≡0 – отключенная схема, сигналы от которой не поступают ни к каким устройствам.

Представим зависимость значений этих функций от значения аргумента x в виде специальной таблицы истинности, определяющей значение функции в зависимости от комбинации входных сигналов:

смысл, что функция y0 для n=0;
y1=x повторяет значение x;
y2 выдает значение, обратное значению x, и называется инверсией, или отрицанием x (отрицание обозначается как
= 0, если х = 1 , и = 1, если x = 0);
y3 – тот же смысл, что функция y1 для n=0.

Техническая интерпретация:
схема, реализующая зависимость у = х – повторитель ;
схема , реализующая зависимость у = – инвертор.

или операция И) переменных x1, х2, которая обращается в единицу только в том случае, если аргументы x1 и х2 одновременно равны 1, и в 0 – во всех остальных случаях, то есть если хотя бы один аргумент равен 0.
Функция конъюнкции равна min(x1 , х2).
Обозначается конъюнкция знаком "∧", который читается как «и». Значение конъюнкции для заданных аргументов находится по правилам логического умножения:

для любого числа аргументов, т.е. x1 ∧ x2 ∧ x3 ∧... .
Знак "∧" может быть опущен или заменен точкой.
Для обозначения операции конъюнкции используется также символ "&".
Примеры записи конъюнкции:
Выражения
x1 ∧ x2 ∧ x3 и
x1 x2 x3 и
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 и
x1 & x2 & x3
эквивалентны.

или операция ИЛИ) обращается в 0 только в том случае, если аргументы x1 и x2 одновременно равны 0, и в 1, если хотя бы один аргумент равен 1.
Функция дизъюнкции равна max(x1,x2).
Обозначается дизъюнкция знаком "∨", который читается как «или».
Значение дизъюнкции для заданных аргументов находится по правилам логического сложения:

для любого числа аргументов, т.е. x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨... .
Знак " ∨ " может быть заменен знаком +.

Примеры записи дизъюнкции:
Выражения
x1 ∨ x2 ∨ x3 и
x1 + x2 + x3
эквивалентны.

отрицание конъюнкции (операция И-НЕ), т.е. . Данная функция обращается в нуль только в том случае, если аргументы x1 и x2 одновременно равны единице, и в единицу, если хотя бы один из аргументов равен нулю.

Эту функцию называют также «штрих Шеффера».

Функция y1 (1,0,0,0) – отрицание дизъюнкции (операция ИЛИ-НЕ), т.е. . Данная функция обращается в единицу только в том случае, если аргументы x1 и x2 одновременно равны нулю, во всех остальных случаях она равна нулю.

Эту функцию называют также «штрих Пирса».

эквивалентность (или равнозначность) переменных x1 и x2. Данная функция обращается в 1 в том случае, если совпадают значения аргументов x1 и x2; в остальных случаях она равна 0. Обозначается эквивалентность знаком "~", который читается «равнозначно».

Функция y6 (0,1,1,0) – отрицание эквивалентности (или неравнозначность) переменных x1 и x2. Запись читается как «x1 неравнозначно x2». Эта функция равна 1 только в том случае, если значения x1 и x2 не равны.

x2, которая обращается в нуль только в том случае, если переменная x1 равна 1, а x2 – 0; в остальных случаях функция импликации x1 в x2 равна 1. Данная функция обозначается x1 → x2 и читается как «если x1, то x2».

Функция y13 (1,0,1,1) – импликация x2 в x1, которая обращается в нуль только в том случае, если переменная x2 равна 1, а x1 – 0; в остальных случаях функция импликации x2 в x1 равна 1. Данная функция обозначается x2 → x1 и читается как «если x2, то x1»:

x1 в x2, т. е. . . Данную функцию можно рассматривать как функцию запрета со стороны входной переменной x2. Это означает, что выходная функция обращается в 1 только в том случае, если входная переменная x1 равна 1, а x2 – 0; в остальных случаях функция импликации x1 в x2 равна 0.

Функция y2 (0,1,0,0)– отрицание импликации x2 в x1, т. е. . . Эта функция обращается в 1 только в том случае, если переменная x2 равна 1, а x1 – 0, в остальных случаях функция импликации x2 в x1 равна 0.

усложняется с увеличением числа аргументов, например для трех аргументов будет = 256 логических функций. В этом случае, особенно при анализе и синтезе логических устройств компьютера, более удобным является аналитическое представление логических функций с помощью нормальных форм.
Наиболее распространенными формами являются:
дизъюнктивная нормальная форма;
конъюнктивная нормальная форма.
Если в этих функциях конъюнкции или дизъюнкции содержат все без исключения переменные в прямом или инверсном значении, то такая форма функций называется совершенной.

помощью которых возможно преобразование логических функций:

1. Коммутативный (переместительный) закон:
x1·x2 = x2·x1; x1∨x2 = x2∨x1;

2. Ассоциативный (сочетательный) закон:
(x1·x2)·x3 = (x1· x3) ·x2 = x1·(x2· x3);
(x1∨x2)∨x3 = x1∨(x2∨ x3);

Эти законы идентичны аналогичным законам обычной алгебры.
3. Дистрибутивный (распределительный) закон:
x1·(x2∨ x3) = x1·x2∨x1· x3;
x1∨x2· x3 = (x1∨x2) ·(x1∨ x3);

конъюнкция меньшего ранга, т.е. с меньшим числом переменных, поглощает все конъюнкции большего ранга, если ее изображение содержится в них. Это же справедливо и для конъюнктивных форм:
x1∨ x1·x2 = x1; x1 ·(x1 ∨ x2) = x1;

5. Закон склеивания:


6. Правило де Моргана: