Презентация, доклад Окружность, геометрия, 8 класс

центром, на заданное ненулевое расстояние , называемое её радиусом .

О

Определение

Используйте циркуль при построении окружности

окружности. О -центр окружности

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности.
ОA- радиус окружности

Диаметром окружности называется хорда данной окружности, проходящая через ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой окружности, а также хордой ограниченного ей круга.
AB- хорда, проходящая через ее центр О

ВСПОМНИ!!!

одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
                                                                           
                                                  

Свойства окружности

двух точках — концах диаметра, лежащего на этой прямой.

Пусть прямая р не проходит через центр о окружности радиуса г.

Проведем перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от центра данной окружности до прямой

О

H

p

Взаимное расположение прямой
и окружности

НА и НВ длины которых равны г2-d2

По теореме Пифагора
ОА = ОН2 +НА2 = ^d2 +(r2-d2) = г,
ОБ = OH2 +НВ2 = ^d2 +(r2-d2) = г.

Следовательно, точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой р и данной окружности.

Взаимное расположение прямой
и окружности

О

А

B

H

p

Итак, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < г), то прямая и окружность имеют две общие точки.
В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности

Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р, отличной от точки Н, ОМ > ОН = г (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.

О

M

H

p

Итак, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Взаимное расположение прямой
и окружности

М прямой р ОМ > ОН > г

Следовательно, точка М не лежит на окружности.

О

M

H

p

r

Итак, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Взаимное расположение прямой
и окружности

могут не иметь ни одной общей точки.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

На рисунке прямая р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания.

Касательная к окружности

О

A

p

точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.

Предположим, что это не так.

Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки.
Но это противоречит условию: прямая р — касательная.

Касательная к окружности

О

A

p

Теоремa о свойстве касательной к окружности

Теорема
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Т.o., прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.

через точку А и касающиеся окружности в точках В и С.

Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных, проведенными из точки А.

Они обладают следующим свойством, вытекающим из доказанной теоремы:

О

B

C

A

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

треугольники АВО и АСО прямоугольные.
Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и 3=4, ч.т.д.

О

B

C

A

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Касательная к окружности

центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной (признак касательной)

Теорема
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

из таких задач.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной (признак касательной)

Задача
Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности.
Решение
Проведем прямую ОА, а затем построим прямую р, проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА. По признаку касательной прямая р является искомой касательной.

О

A

p

стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В.
Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами А и В
Если <АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности

Если <АОВ неразвернутый, то говорят, что дуга АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности.

Про другую дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности (дуга ALB)

A

B

O

О

A

B

О

A

B

L

L

центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла

Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360° — АОВ

опирается

О

A

B

M

C

центром О, опирающийся на
дугу АС.
Докажем, что < ABC=
= 0,5 AC. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла ABC.

О

A

B

M

C

Доказательство

с одной из сторон угла АВС (Рис.a)

Луч ВО делит угол АВС на два угла (Рис. б)

Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис. в)

равны

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой

произведению отрезков другой хорды

B

А

С

D

E

1

2

3

4

Теорема

АЕ • ВЕ=СЕ • DE
Рассмотрим треугольники ADE и
СBE. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные.
По первому признаку подобия треугольников
Отсюда следует, что ,или

АЕ • ВЕ =СЕ • DE
Теорема доказана.

B

А

С

D

E

1

2

3

4

Доказательство