Презентация, доклад по математикеПаркет из многоугольников

заполнение плоскости повторяющимися фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства.
Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат.
Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.

многоугольниковИз неправильных многоугольников;
Из фигур, полученных комбинацией квадратовИз фигур, полученных комбинацией квадратов;
Из фигур, полученных комбинацией половинок и четвертинок окружности.
Из правильных многоугольниковИз правильных многоугольников;

углы равны и все стороны равны

Паркеты из правильных
многоугольников.

форму правильного шестиугольника?
Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.
Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.
И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

равны 180⁰∙(n-2): n,
где n- число сторон многоугольника. С помощью паркета мы можем замостить плоскость. Если в одной точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:
m ∙ 180⁰ ∙ (n-2) : n=360⁰
После преобразования получаем: m = 2 ∙ n : (n-2).
Для пятиугольника m получается дробным числом, значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Паркеты из правильных многоугольников:

многоугольников с различным числом сторон, то такой паркет называется полуправильным.

многоугольников

Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма.

Легко покрыть плоскость параллелограммами

симметричный ему относительно середины стороны АВ четырехугольник. Исходный обозначим цифрой I, а симметричный - цифрой II. Теперь четырехугольник II отразим симметрич­но относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой III и отразим его симметрично относительно середины стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой IV. Четырехугольники I,II,III,IV примыкают к общей вершине углами A,B,C,D. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому четырехугольники заполнят плоскость вокруг общей вершины .

Паркеты из неправильных многоугольников

90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника.

Паркеты из неправильных многоугольников

комбинацией квадратов

квадрата.

покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами.
Появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур.
Рассмотрим некоторые из возможных способов построения нового паркета.

Способы построения паркетов

нам паркет) - из правильных треугольников, квадратов, шестиугольников, или из произвольных многоугольников, и выполняем всевозможные преобразования: сжатие, растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков...
Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Способ второй

Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти треугольников

Паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки

на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета.

Способ третий

ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать. Получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета).

Вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:

дающим рисунки, подобные "лебедям" М. Эшера. Нужно начать с простой фигуры, например, с шестиугольника, вырезать кусочек с одной стороны и затем добавить его с другой. Повторить эту операцию несколько раз. Чуть-чуть воображения - и наша фигура превратится в профиль злой волшебницы Бастинды!

Обратимся к частным примерам из графического наследия голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера (1898-1972).
Этот художник общепризнанно считается первооткрывателем многих типов цветной симметрии. Он оставил после себя большое творческое наследие – более 450 гравюр, а также учебное пособие «Правильное деление на плоскости» с иллюстрациями - орнаментальными композициями.

Мотив «всадник» построен на основе правильного треугольника.

Все зависит от фантазии.

Орнамент из мотивов, образуемых одной кривой, но построенный на треугольной сетке с осями симметрии 3-го порядка.

Орнамент, построенный на основе правильного шестиугольника и вписанных в него правильных треугольников.

паркеты из правильных многоугольников можно сделать только с помощью правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников.
с помощью неправильных многоугольников можно придумать огромное количество паркетов.
- на основе системы правильных многоугольников можно нарисовать огромное количество «художественных» орнаментов.
В основе создания паркета лежит деление плоскости на многоугольники.