Презентация, доклад по математике Мир правильных многогранников (11 класс)

класс



г.Раменское
2013

Мир правильных многогранников

правильные многогранники - платоновы тела и их виды;
- формула Эйлера для правильных многогранников;
- развертки правильных многогранников;
- полуправильные многогранники - тела Архимеда и их виды; звёздчатые тела - тела Пуансо-Кеплера;
- полуправильные многогранники - тела Архимеда и их виды;
- использование форм правильных многогранников в природе;
- использование форм правильных многогранников человеком.
3.Вывод
4.Библиография

по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук»
Льюис Кэрролл

многогранниках.

Задачи:

Разобрать понятия
- правильные многогранники - и их виды;
- полуправильные многогранники - и их виды;
- звёздчатые тела и их виды

Ознакомиться с историей правильных многогранников

Рассмотреть применение форм правильных многогранников в природе и человеком.
-

до нашего времени геометры возвращались к теории выпуклых многогранников и открывали в ней новые фундаментальные факты».

Л.А.Люстерник

мы видим ежедневно: книга, комната, гранённый карандаш. Среди разнообразных форм многогранников выделяют правильные многогранники.

если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

до нашей эры.

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем , философом Древней Греции Платоном

строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

ЕВКЛИД

Древнегреческий мыслитель. Жил в третьем веке до н.э. В Александрии.
«Начала» знаменитый 13-томный труд Евклида. В нём была изложена вся известная к тому времени геометрия.
13 книга «Начал» - это теория правильных многогранников является вершиной стереометрии у Евклида

правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
«эдра» - грань
«тетра» - 4
«гекса» - 6
«окта» - 8
«икоса» - 20
«додека» - 12

состоит из четырех равных равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.

многогранников.
Куб имеет шесть равных квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.

октаэдра состоит из восьми равных треугольников сходящихся в каждой вершине по четыре.

в вершинах по три.
Этот многогранник
замечателен своими тремя
звездчатыми формами.

представитель платоновых тел.
Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равных равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.
Икосаэдр имеет одну звездчатую форму.

писал про Эйлера Г.С. Коксетер, один из крупнейших современных геометров, - что можно представить себе дух Евклида, вопрошающий: «Почему при жизни на Земле я не додумался до этого?»»

швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую Академию Наук и переехал в 1727 в Россию.

Леонард Эйлер
(1707-1783)

Леонард Эйлер

В любом простом выпуклом многограннике число вершин плюс число граней и минус число ребер равно двум»

Платонова тела, то есть продлением его граней до пересечения друг с другом, и поэтому называются звёздчатыми.

описал два звездчатых многогранника: большой звездчатый додекаэдр и малый звездчатый додекаэдр
Занимался теорией полуправильных выпуклых многогранников

их с друг другом, то получится фигура которая возникает при взаимопроникновении двух тетраэдров, которую Лука Пачоли (около 1445 — позже 1509, итальянский математик). назвал «продолженным октаэдром». Иоганн Кеплер переоткрыл эту фигуру сто лет спустя и присвоил ей имя «стела октангула»- «восьмиугольная звезда»

большого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются пять граней. Вершины малого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Малый звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.

с вершинами описанного икосаэдра.
Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.

малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.
Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.

с вершинами описанного икосаэдра.
Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансо (1777-1859, французский механик и математик) в 1809 г.

Архимедом , они получаются из Платоновых тел либо «отсечением углов» либо «отсечением ребер». Интересно, что две тысячи лет считалось, что архимедовых тел всего 13, и лишь 1957 году русский математик В.Г.Ашкинузе открыл четырнадцатый полуправильный многогранник.

в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

около 287 – 212 гг. до нашей эры

все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов (этим они отличаются от платоновых тел).
Множество архимедовых тел можно разбить на пять групп.

в результате их усечения:

Первую группу составляют пять многогранников, которые получаются из пяти платоновых тел в результате их усечения:

правильного треугольника равнялась стороне правильного шестиугольника

стороне правильного восьмиугольника

сторона квадрата равнялась стороне правильного шестиугольника

правильного треугольника равнялась стороне правильного восьмиугольника

правильного шестиугольника равнялась стороне правильного пятиугольника

что гранями этого многогранника являются правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена гранями другого типа. Эти два тела называются кубоктаэдр и икосододекаэдр.

квазиправильные многогранники

Усекаем вершины куба или икосаэдра на половину ребра

ребра

ромбоикосододекаэдр, который иногда называют малым ромбоикосододекаэдром.

В эту группу входят ромбоусеченный кубоктаэдр иногда называемый большим ромбокубоктаэдром и ромбоусеченный икосододекаэдр называемый также большим ромбоикосододекаэдром, которые получаются из кубоктаэдра и икосододекаэдра при другом варианте усечения.

(куба) и вершины

гексаэдра (куба)

куб и курносый додекаэдр. Для них характерно несколько повернутое положение граней. В результате эти многогранники, в отличие от предыдущих, не имеют плоскостей симметрии, но имеют оси симметрии. Так как плоскостей симметрии нет, то зеркальное отражение такого тела не совпадает с исходным телом, и поэтому существуют по две формы каждого из них - "правая" и "левая", отличающиеся так же, как правая и левая руки.

веке. Он может быть получен из ромбокубоктаэдра, если повернуть одну из восьмиугольных чаш на 45°.,

языка - круги, треугольники и иные математические фигуры»
Галилео Галилей

человека, но только геометр усмотрел в них порядок и систему задолго до того , как физик проник в тайну строения вещества.

многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

скелет одноклеточного организма феодарии ( Circjgjnia icosahtdra ) по форме напоминает икосаэдр
Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

дар природы»

Альберт Эйнштейн

были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.
Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

(1471- 1528) , в известной гравюре
''Меланхолия ''.

На переднем плане изобразил додекаэдр.
 

правильным, то есть звёздчатым, телам Кеплера-Пуансо надо прибавить ещё четырнадцать полуправильных тел Архимеда-Ашкинузе. Если про правильные - обычные и звёздчатые многогранники Огюстен Коши в 1812 году строго доказал, что их может быть только десять, то касательно полуправильных, известно лишь что 14 обычных дают 51 звёздчатый. Но исчерпывается ли этим «полуправильное многообразие» - этого сегодняшние геометры не знают.

Журнал «Квант», №4 ,1987 г.
К. Левитин «Геометрическая рапсодия», изд. «Знание», Москва, 1984 г.
Интернетресурсы: