Презентация, доклад на тему Построение сечений многогранников

запомню. Вовлеки меня – и я научусь.»

Древняя китайская
пословица

необычные картины. Кстати, эти рисунки очень популярны среди математиков. В сети Internet можно найти множество сайтов, где публикуются эти невозможные объекты.

Популярные художники Морис Эшер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей и другие, удивляли своими картинами математиков.

http://lib.world-mobile.net/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/art/index.html

http://www.im-possible.info/english/art/mey/mey2.html

http://alone.sammit.kiev.ua/moremind/illusion/index.html

Это интересно!

многоугольниками, называемыми гранями.
Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника
По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д.
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые
многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников:
тетраэдр

куб

октаэдр

додекаэдр

икосаэдр.

выглядеть многогранник в разрезе ?

выпуклого многогранника, ребро, вершина?
Что значит построить сечение многогранника плоскостью?
Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?
Как задается плоскость?
Сколько точек необходимо чтобы однозначно провести прямую на плоскости?
Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?
Какая фигура получается при пересечении двух плоскостей
Где располагается точка пересечения плоскости и прямой лежащей в другой плоскости?
Алгоритм построения сечений многогранников
Методы построения сечений многогранников

в многогранниках.
Обучающая цель:
Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки при построении сечений многогранников методом следов.
Закрепление умений и навыков построения сечений различными методами в ходе решения позиционных задач;
Контроль усвоения учащимися знаний и отработка у них умений и навыков в области изучаемой темы.
Развивающая цель: формировать и развивать у учащихся логическое мышление, пространственное воображение, графическую культуру и математическую речь.
Воспитательная цель: воспитывать познавательный интерес к предмету воспитывать чувство сплоченности, взаимопомощи, воспитывать умения работать индивидуально над задачей

является плоскость

следующим образом

которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).

пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.
Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать 2 точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.

являются эти отрезки – сечение тетраэдра.

плоскости одной грани.

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

могут получиться:

Четырехугольники

Треугольники

могут получиться:

ответ с помощью аксиом, теорем и свойств параллельных плоскостей.

крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой

3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Характеризуют взаимное расположение точек и прямых

Основное понятие геометрии «лежать между»

4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

прямые НК и ВВ1
пересекаются?

есть
ещё ошибка!

С1D1?

Пересекаются ли
прямые NK и DC?

Пересекаются ли
прямые NK и АD?

лыжах … : научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь..
Д. Пойа

Как научиться решать задачи?

пересечены третьей,
то линии их пересечения
параллельны.

Свойство
параллельных плоскостей.

Это свойство нам поможет
при построении сечений.

вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .    

O

Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью.

Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

прямую АВ до пересечения с прямой FO.

O

Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.

Аналогичным образом получим точку R.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости

Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе.

O

Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).

Почему мы уверены, что все
делаем правильно?

и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G.

O

G

на грани многогранника.

Секущая плоскость пересекает грань или плоскость грани, то только один раз.

прямых.
Точка пересечения ребер многогранника.
Сторона многогранника.
Поверхность, составленная из многоугольников.
Раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве.

П

Л

О

С

К

О

Т

Ь

С

Р

Е

Б

Р

О

Т

Ч

К

О

А

Р

Ш

И

Н

А

В

Е

Г

Р

А

Н

Ь

О

Г

О

Г

Р

М

Н

Н

И

К

С

Т

А

Н

Е

О

М

Е

Т

Е

Р

Я

Р

И

многогранников с использованием полученных знаний.

Творческое домашнее задание

если хотите научиться решать задачи, то решайте их
(Д. Пойа)

СПАСИБО ЗА УРОК !