Презентация по предмету
«Элементы высшей математики»
По теме:
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад на тему Урок-презентация Решение дифференцированных уравнений
Содержание
- 1. Урок-презентация Решение дифференцированных уравнений
- 2. Содержание:Определение дифференциального уравненияПорядок дифференциального уравненияРешение дифференциальных уравненийЧастное
- 3. Дифференциальные уравнения Это уравнения, в которых
- 4. Порядком дифференциального уравнения называется количественный порядок производной содержание
- 5. Решением дифференциального уравнения называется
- 6. График y=ϕ(x) решения дифференциального уравнения
- 7. Решение вида y=ϕ (x,C0
- 8. Решение дифференциальных уравнений первого порядка
- 9. Преобразуем такое выражение далее: Функцию f (x,
- 10. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение
- 11. Перейдем к новым обозначениям Получаем:
- 12. Пример:Интеграл, стоящий в левой части, берется по
- 13. Однородные уравненияОпределение:Функция f(x, y) называется однородной n
- 14. Определение. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменнымисодержание
- 15. Рассмотрим однородное уравнениеПолучаем:Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:содержание
- 16. Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее
- 17. Пример.Введем вспомогательную функцию u.Подставляем в исходное уравнение:Разделяем
- 18. Линейные уравнения Уравнение вида
- 19. Линейные однородные дифференциальные уравнения Рассмотрим
- 20. Линейные неоднородные дифференциальные уравненияДля интегрирования линейных неоднородных
- 21. Метод Бернулли.(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)Подставляя в исходное уравнение, получаем:содержание
- 22. Далее следует важное замечание т.к. первоначальная функция
- 23. Интегрируя, можем найти функцию v:содержание
- 24. Подставляя полученные значения, получаем:Окончательно получаем формулу: С2
- 25. Метод Лагранжа.( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) -
- 26. Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного
- 27. Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):Интегрируя, получаем:Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:содержание
- 28. Уравнение БернуллиОпределение. Уравнением Бернулли называется уравнение видагде
- 29. Применим подстановку, учтя, что Т.е. получилось линейное
- 30. Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий
- 31. ПримерСначала приведем данное уравнение к стандартному виду: Применим полученную выше формулу: содержание
- 32. Пример. ПолагаемПолагаемПроизведя обратную подстановку, получаем:содержание
Содержание:Определение дифференциального уравненияПорядок дифференциального уравненияРешение дифференциальных уравненийЧастное решение дифференциальных уравненийЗадача КошиРешение дифференциальных уравнений первого порядкаУравнения с разделяющимися переменными ПримерОднородные уравненияПример Линейные уравненияЛинейные однородные дифференциальные уравненияЛинейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод Бернулли Метод Лагранжа Пример Уравнение Бернулли Пример
Слайд 2Содержание:
Определение дифференциального уравнения
Порядок дифференциального уравнения
Решение дифференциальных уравнений
Частное решение дифференциальных уравнений
Задача Коши
Решение
дифференциальных уравнений первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Пример
Однородные уравнения
Пример
Линейные уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Метод Бернулли
Метод Лагранжа
Пример
Уравнение Бернулли
Пример
Уравнения с разделяющимися переменными
Пример
Однородные уравнения
Пример
Линейные уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Метод Бернулли
Метод Лагранжа
Пример
Уравнение Бернулли
Пример
Слайд 3Дифференциальные уравнения
Это уравнения, в которых неизвестными являются функции одного
или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные или дифференциалы.
содержание
Слайд 4 Порядком дифференциального уравнения называется количественный порядок производной
содержание
Слайд 5 Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y
= ϕ(x), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая дифференцируемая функция y = ϕ(x,С), обладающая следующими свойствами:
Так как постоянная С – произвольная величина, то дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.
Для любого начального условия x=x0 , y(x0 )=y0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция y =ϕ (x,C0 ) .
содержание
Слайд 6 График y=ϕ(x) решения дифференциального уравнения на плоскости xOy называется
интегральной кривой.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется
интегрированием дифференциального уравнения.
содержание
Слайд 7 Решение вида y=ϕ (x,C0 ) называется частным решением
дифференциального уравнения (ЧРДУ).
Задача в которой необходимо найти ЧРДУ
при заданных начальных условиях y(x0)= y0
называется задачей Коши
содержание
Слайд 8Решение дифференциальных уравнений первого порядка
Дифференциальным уравнением первого порядка
называется соотношение, связывающее функцию y, ее первую производную y'и независимую переменную x, т.е. соотношение вида:
F(x, y, y') = 0
Если такое соотношение преобразовать к виду
y'= f (x, y) то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.
содержание
Слайд 9Преобразуем такое выражение далее:
Функцию f (x, y) представим в
виде:
тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:
Это дифференциальная форма уравнения первого порядка
Слайд 10Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение y'=f (x, y),
называется уравнением
с разделяющимися
переменными, если его можно записать в виде
переменными, если его можно записать в виде
Такое уравнение можно представить также в виде:
.
содержание
Слайд 11Перейдем к новым обозначениям
Получаем:
После нахождения соответствующих
интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (ОРДУ).
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и ЧРДУ.
содержание
Слайд 12Пример:
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:
это есть общий
интеграл исходного ДУ, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х
содержание
Слайд 13Однородные уравнения
Определение:
Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно
своих аргументов х и у, если для любого значения параметра
t(кроме нуля) выполняется тождество:
t(кроме нуля) выполняется тождество:
Пример.
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
содержание
Слайд 14Определение.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к
уравнению с разделяющимися переменными
содержание
Слайд 15Рассмотрим однородное уравнение
Получаем:
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:
содержание
Слайд 16Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через
х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного
дифференциального уравнения.
содержание
Слайд 17Пример.
Введем вспомогательную функцию u.
Подставляем в исходное уравнение:
Разделяем переменные:
Интегрируя, получаем:
Переходя
от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
содержание
Слайд 18Линейные уравнения
Уравнение вида
где p(x) и f(x) - функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Для нахождения ОРУ может быть применен метод вариации постоянной.
содержание
Слайд 19Линейные однородные дифференциальные уравнения
Рассмотрим методы нахождения общего решения
линейного
однородного дифференциального уравнения первого порядка вида
однородного дифференциального уравнения первого порядка вида
Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей
Общее решение:
содержание
Слайд 20Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяются в
основном два метода:
метод Бернулли и метод Лагранжа.
метод Бернулли и метод Лагранжа.
содержание
Слайд 21Метод Бернулли.
(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
содержание
Слайд 22Далее следует важное замечание
т.к. первоначальная функция была представлена нами
в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.
Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
содержание
Слайд 24Подставляя полученные значения, получаем:
Окончательно получаем формулу:
С2 - произвольный коэффициент
Это
соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.
содержание
Слайд 25Метод Лагранжа.
( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик,
през.
Берлинской АН, поч. чл. Пет. АН (1776)).
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных
дифференциальных уравнений еще называют методом
вариации произвольной постоянной.
Вернемся к поставленной задаче:
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части
уравнения и замене ее нулем.
Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:
содержание
Слайд 26Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать
постоянную С1 некоторой функцией от х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
содержание
Слайд 27Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
Интегрируя, получаем:
Подставляя это значение в
исходное уравнение, получаем:
содержание
Слайд 28Уравнение Бернулли
Определение.
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
где P и Q –
функции от х или постоянные числа,
а n – постоянное число, не равное 1
а n – постоянное число, не равное 1
Для этого разделим исходное уравнение на yn.
содержание
Слайд 29Применим подстановку, учтя, что
Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции
z.
Решение этого уравнения будем искать в виде:
Решение этого уравнения будем искать в виде:
содержание
Слайд 30Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по
методу Бернулли
При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться
простотой интегрирования функций,
входящих в исходный интеграл.
содержание
Слайд 31Пример
Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:
Применим полученную выше формулу:
содержание
