Презентация, доклад на тему Способы нахождения приближенного значения числа пи

числа

Цель работы

диаметру d = 2r. Это кратко выражается формулой для вычисления длины окружности C = πd, или C = 2πr.
Другая известная формула, в которой встречается π, – формула площади круга S = πr2, или S = πd2/4.
В принципе π можно было бы определить как отношение площади круга к квадрату радиуса.

Приближения числа Пи

коэффициенты пропорциональности в двух последних случаях совпадают.

Десятичная дробь, выражающая число π, бесконечна, хотя можно вычислить различные конечные дроби – десятичные приближения для π. Наиболее популярное приближение – с точностью до сотых: π ≈ 3,14.

За этими формулами скрываются
три нетривиальных математических факта:

н. э.:
длину окружности находили по правилу, которое в современных обозначениях можно записать
C = 3d,
площадь круга находили по правилу S = C2/12.

Значение π = 3 использовалось и древними иудеями, где упоминалось в библейских текстах

Самое простое приближение для π
полагает его равным 3

стороны, равной трети стороны квадрата, получалось довольно точное значение π = 3 + 1/9 = 3,11.

Геометрические приближения площади круга,
Древний Вавилон :

что соответствует значению π = 4 ∙ (8/9)2 ≈ 3,1605. Ошибка при этом составляет менее 1 %. Как получали это правило, неизвестно.

Геометрические приближения площади круга,
Древний Египет :

доказательствам, а не к вычислениям, вопрос о численном значении π был не столь важным, нежели проблема квадратуры круга, т. е. построения квадрата, равновеликого данному кругу, если удастся, то с помощью циркуля и линейки, а в противном случае – с помощью каких-то других инструментов. Задача о квадратуре круга имела широкую известность не только среди математиков: например, о ней говорится в комедии Аристофана «Птицы».

Задача о квадратуре круга

э.) нашёл некоторые случаи определения квадратуры определённых частей круга, ограниченных кривыми линиями (двумя окружностями). Такие части называются луночками.

Задача о квадратуре круга
и вычисление числа π

(V в. до н. э.).
Антифонт последовательно вписывал в круг правильные многоугольники, каждый раз удваивая количество сторон, и полагал, что в конце концов многоугольник совпадет с окружностью. Бризон строил два квадрата – вписанный в окружность и описанный вокруг нее – и считал, что площадь квадрата, лежащего между ними, равна площади круга.

Задача о квадратуре круга
и вычисление числа π

ее радиус. Кроме того, с помощью вычисленных им периметров вписанных и описанных правильных многоугольников (от 6-угольника до 96-угольника) Архимед нашел, что:

или, в десятичных дробях, 3,1409... < π < 3,1428... (подлинное значение π = 3,14159...).
Таким образом, он не только нашел приближенные значения π, но и оценил точность этих приближений. Уже найденная Архимедом верхняя оценка, равная 22/7, дает приближение π с точностью 0,04 %. Эту дробь часто называют «архимедовым числом».

«Архимедово число»

составляет приблизительно 3,14167 (ошибка меньше 0,003 %).
В начале XVII в. профессор математических и военных наук Лейденского университета Лудольф ван Цейлен [4] довел количество точных знаков (после запятой) числа π до 35. Современники называли найденное им приближение π «числом Лудольфа». Эти знаки он завещал выбить на надгробном камне. Интересно, что, поскольку в то время привычная нам позиционная запись десятичных дробей еще не вполне прижилась, на надгробии было написано не 3,14159265358979323846264338327960288, а

Результаты вычисления числа «пи» различными учеными

помощью математического
анализа – использованию
бесконечных сумм, которые
дают приближенные значения числа π нужной точности.
Рекорд для XIX в. поставил Уильям Шенкс, нашедший в результате 527знаков после запятой.
Компьютеры позволили существенно увеличить количество точных цифр в десятичном разложении π, причем, если раньше вычислители тратили на них многие годы, то теперь компьютеры справлялись с этим менее чем за день работы.

Вычисление с помощью математического анализа

миллиардов

Определить массу картонного квадрата с помощью весов. Вырезать из квадрата круг. Взвесить и его. Зная массы квадрата mкв и вписанного в него круга mкр воспользуемся формулами m= рV, V=Sh, где и h-соответственно плотность и толщина картона, S-площадь фигуры.
Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.

Вычисление опытным путём
с помощью взвешивания

города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.
Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно.

Вычисление опытным путём: метод Монте-Карло

точное значение.
Рассмотрели популярные методы вычисления π:
- метод геометрического приближения;
- метод квадратуры круга;
- метод вписанных и описанных правильных многоугольников;
- метод математического анализа;
- метод взвешивания;
- метод Монте- Карло.

Таким образом для достижения поставленной
цели были выполнены следующие задачи:

научную ценность, но и используется для точных вычислений;

- С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению;

- История числа π это череда усилий величайших умов человечества по уточнению его знаков и поисков алгоритмов для их нахождения.

Заключение