Презентация, доклад Решение задач по теории вероятности

вероятности»

Работу выполнила учитель математики МКОУ СОШ с.Новый Урух Надгериева Д.И.

условиях может произойти, а может не произойти. Например, событие “при бросании игральной кости выпало 3 или 4 очка”. Напомним, что игральная кость – это кубик с шестью гранями, на которых написаны числа от 1 до 6.   Предположим, что мы проводим некоторое испытание (эксперимент), например, бросаем игральную кость. Результатом нашего испытания может быть одно из шести событий: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков. Такие события называются элементарными событиями (то есть это “простейшие” события, которые в совокупности образуют все множество исходов нашего эксперимента). Например, событие “при бросании игральной кости выпало 3 или 4 очка” не является элементарным, оно состоит из двух элементарных событий “при бросании игральной кости выпало 3 очка” и “при бросании игральной кости выпало 4 очка”. Если сложить вероятности всех возможных элементарных событий у некоторого эксперимента, то получится 1.

из них одинаковы. Например, при бросании игральной кости вероятности любого из событий: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков, одинаковы. Или, например, при подбрасывании монеты вероятности событий “выпадет орел” и “выпадет решка” также одинаковы. Примером неравновероятных событий могут послужить два события: “при бросании игральной кости выпадет 1 очко” и “при бросании игральной кости выпадет нечетное количество очков”. Почему? В первом случае нам удовлетворяет только исход, когда кубик упадет кверху гранью, на которой написано 1; во втором случае нам подходит целых три исхода: он может выпасть кверху гранью с 1, с 3 или с 5.

событий, то вероятность события A : P(A)=mN, где m – количество “подходящих” элементарных событий.

3 очка.   Решение. Всего при бросании игральной кости возможны шесть исходов (в данном случае, элементарные события), которые мы описывали ранее. Как мы уже говорили, вероятности наступления каждого из этих исходов одинаковы. Следовательно, N=6. Подходит нам один исход: когда выпадет 3 очка. Значит , m=1. Таким образом, вероятность нашего события равна 1/6. Вероятность любого из исходов: выпадет 1 очко, 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков, равна 1/6.  

в сумме выпадет 4 очка.   Решение. Для начала нужно найти количество всех возможных исходов у нашего эксперимента. Предположим, на первом кубике выпало 1. Тогда на втором кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. То есть уже есть шесть возможных исходов. Если на первом кубике выпало 2, то на втором также может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. То есть еще шесть исходов. Рассуждая аналогично, мы получим шесть “блоков” по шесть исходов. То есть всего у нашего события 36 возможных исходов (в данном случае, они будут элементарными событиями). На самом деле, если мы бросаем k игральных костей, то всего у такого эксперимента будет 6k элементарных исходов. Теперь давайте подумаем, сколько из них нам подходит. Чтобы в сумме на обоих кубиках было 4 очка, нужно, чтобы: – на первом кубике выпало 1, на втором 3 очка; – на первом кубике выпало 2, а на втором 2 очка; – на первом кубике выпало 3, а на втором 1 очко. Таким образом, нам подходит только три исхода.   Следовательно, вероятность равна 3/36=1/12.

Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 - из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.   Решение. Заметим, что вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины, такая же, как вероятность, что он будет выступать первым, вторым, третьим и т.п. Всего претендентов на последнее место 8+6+5+6=25 спортсменов. Нам удовлетворяют лишь 8 из Аргентины. Следовательно, вероятность равна отношению количества удовлетворяющих   исходов к количеству всех: 8/25.

происходить одновременно, то их называют совместными. Те, которые происходить одновременно не могут, называют соответственно несовместными. Например, события “при бросании кубика выпадет 3 очка” и “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” являются совместными, потому что 3 – нечетное число. А вот события “при бросании кубика выпадет 3 очка” и “при бросании кубика выпадет 5 очков” будут несовместными, потому что одновременно выпасть и 3 очка, и 5 очков не может. Также примером совместных событий могут служить события “выбранному ученику 13 лет” и “выбранному ученику не менее 10 лет”, которые являются исходами эксперимента: из класса, состоящего из 25 человек, выбирают случайным образом одного ученика. Пример несовместных событий: “играя в шахматы с Машей, Таня выиграла” и “играя в шахматы с Таней, Маша выиграла”.   Все элементарные события являются несовместными. Любое событие, не являющееся элементарным, есть совокупность некоторого количества элементарных событий. Событие “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” есть не что иное, как совокупность трех событий: “при бросании кубика выпадет 1 очко”, “при бросании кубика выпадет 3 очка” и “при бросании кубика выпадет 5 очков”. Если назвать событие “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” событием A, “при бросании кубика выпадет 1 очко” – событием B, “при бросании кубика выпадет 3 очка” – событием C, “при бросании кубика выпадет 5 очков” – событием D, то условно это можно записать так: А= В или С или Д

хотя бы одного из двух несовместных событий A и B (то есть C={A или B}), то вероятность события C равна сумме вероятностей событий A и B. Например, используя предыдущий пример, вероятность события “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” равна сумме вероятностей событий “при бросании кубика выпадет 1 очко”, “при бросании кубика выпадет 3 очка” и “при бросании кубика выпадет 5 очков”. А так как вероятность каждого из этих трех событий равна 16, то вероятность события “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” равна 1/6+1/6+1/6=1/2. Заметим, что если посчитать вероятность этого события, пользуясь формулой P=mN, то мы получим тот же ответ.   Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события несовместны, то круги не должны пересекаться. Вероятность события C – это вероятность попасть в один из кругов. 

делящееся на три}.   Решение. Можно сказать, что, для того, чтобы выпало число, делящееся на три, нужно, чтобы выпало число 3 или число 6. Значит, A={выпадет 3}, B={выпадет 6}, причем эти события несовместны! Тогда C={A или B}.   Значит, P(C)=P(A)+P(B)=1/6+1/6=1/3.

самолет. Если разбить сутки на четыре промежутка: утро, день, вечер, ночь, то вероятность того, что Никита увидит в небе самолет утром, равна 0,45; днем – вероятность равна 0,37; вечером – равна 0,1. Найдите вероятность того, что в темное время суток (вечером или ночью) Никита из окна своего дома увидит самолет.   Решение. Из условия задачи следует, что вероятность того, что в течение суток Никита увидит самолет, равна 1. Следовательно, вероятность того, что Никита увидит самолет ночью, равна 1−0,45−0,37−0,1=0,08. Следовательно, вероятность того, что Никита увидит самолет в темное время суток, равна 0,08+0,1=0,18.

вероятность некоторого события C, для выполнения которого нужно, чтобы одновременно произошли два события A и B. Чему будет равна такая вероятность? Для начала следует сказать, что если события A и B являются несовместными, то вероятность события C будет равна 0. Действительно, ведь несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно. А событие C – это как раз событие, которое требует одновременного выполнения событий A и B. Очевидно, что такое невозможно. Это и значит, что вероятность события C равна 0.   Таким образом, мы выяснили, что для того, чтобы вероятность такого события C была ненулевой, события A и B должны быть совместными.   Например, событие C={при бросании кубика выпадет 6} можно интерпретировать как C={A и B}, где A={при бросании кубика выпадет число, делящееся на 3}, B={при бросании кубика выпадет число, делящееся на 2} (потому что из всех чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6 единственное число, делящееся одновременно на 2 и на 3 – это 6).  

двух цветов: черные и красные, а также ручки двух цветов: черные и красные. Причем вероятность достать карандаш равна вероятности достать ручку. Всего карандашей 15, из них 11 черных; ручек всего 35, из них 10 красных. Как нам найти вероятность того, что мы достанем красный карандаш?   Учитывая, что вероятности достать ручку или карандаш одинаковые, то эту задачу можно решить, используя предыдущие факты. Всего предметов в мешке 50, из них красных карандашей 4 штуки. Значит, вероятность достать красный карандаш равна 450=0,08. Но эту задачу можно решить и по-другому.   Верен следующий факт: Если для выполнения события C необходимо выполнение обоих совместных (которые могут произойти одновременно) событий A и B (обозначается это так: C={A и B}), то вероятность события C равна произведению вероятностей событий A и B.
Таким образом, союз “и” заменяется на
знак “⋅”.

шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.   Решение. Наше событие C={шахматист А. выиграет, играя один раз белыми, и выиграет, играя один раз черными}={A и B}, где A={шахматист А. выиграет, играя белыми}, B={шахматист А. выиграет, играя черными}. Таким образом, P(C)=P(A)⋅P(B)=0,5⋅0,3=0,15 Заметим, что если предыдущую задачу про карандаши и ручки мы можем решить, используя разные методы, то данную задачу, не используя изучаемый факт, решить не получится.

если наступление одного события никак не влияет на наступление другого события. Например, события “при бросании кубика выпадет 4 очка” и “при бросании кубика выпадет 3 очка” будут независимыми. А вот события “сломался компьютер” и “у компьютера перестала работать клавиатура” являются зависимыми, потому что то, что именно сломалось в компьютере, напрямую влияет на наступление второго события.   Давайте рассмотрим независимые события. Представим, что у нас есть два совместных события, и нам нужно найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из них (до этого мы искали вероятность того, что такие два события наступят одновременно). Например, подбрасывается игральная кость. Таня сказала: “Выпадет 5 или 6!” Коля сказал: “Выпадет четное число!” Найдите вероятность того, что хотя бы один из них окажется прав.

сделаем, а затем решим ее, используя новый факт, о котором мы скажем дальше. Сколько всего исходов может быть при подбрасывании кубика? Шесть. Теперь давайте определим, сколько из них нам подходит. Чтобы была права Таня, нужно, чтобы выпало 5 или выпало 6 (два исхода). Чтобы был прав Коля, нужно, чтобы выпало 2, или 4, или 6 (три исхода). (Видим, что эти события пересекаются по событию “выпадет 6”.) Таким образом, если выпадет или 2, или 4, или 5, или 6, то кто-то из ребят точно будет прав. Значит, нам подходит всего 4 исхода. Следовательно, вероятность равна 4/6=2/3.   Как решить эту задачу по-другому?  

первого стрелка в мишень равна 0,7, второго — 0,8. Какова вероятность того, что кто-нибудь из них попадет в мишень?   Решение. В задаче нужно найти вероятность того, чтобы хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Очевидно, что события независимые и совместные (ведь то, что первый стрелок попадет в мишень никак не отменяет того, что и второй стрелок может попасть в мишень). Следовательно, вероятность одновременного наступления этих событий равна 0,7⋅0,8. Назовем A={первый стрелок попал в мишень}, B={второй стрелок попал в мишень}. Тогда A и B={первый стрелок попал в мишень и второй стрелок попал в мишень}. Следовательно, вероятность искомого события равна и Р(А)+Р(В)-Р(АиВ)=0,7+0,8-0,7*0,8=0,94