Презентация, доклад по теме Теория чисел

прогрессия
Метод «Оценка плюс пример»

Необходимая теория

10, 11, 12, … –
ряд натуральных чисел N

себя и 1, то его называют простым числом.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа.

1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.

2. Множество простых чисел бесконечно.

3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.

называют составным числом.

1 не является ни простым, ни составным числом.

4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители.

Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.

единственно с точностью до порядка множителей и называется каноническим разложением. Утверждение о существовании и единственности канонического разложения носит название основной теоремы арифметики.

натуральное число q такое, что выполняется равенство a = bq, то говорят, что число a делится на число b.

a – делимое
b – делитель
q – частное

a : b = q

⋮ b.

2о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то (a ± c) ⋮ b.
(по умолчанию a > c)

Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3, то 144 ⋮ 3.

Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3, то (84 + 63) ⋮ 3.

Следствие из 2о Если a ⋮ b и с не делится на b, то (a ± c) не делится на b.

Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3, то (48 + 52) не делится на 3.

Свойства делимости

и с-взаимно простые), то а ⋮ bс.


4о Если a ⋮ b и (a + c) ⋮ b, то c ⋮ b.

5о Если a ⋮ b и с ⋮ d, то ac ⋮ bd.

Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3.

Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4).

Свойства делимости

Пример: 60 ⋮ 6 и 60 ⋮ 5, то 60 ⋮ (6∙5).

⋮ b.

8о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то для любых n, k  N
следует (an + ck) ⋮ b.

Пример: 48 ⋮ 3 и 13  N, то (48∙13) ⋮ 3.

Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9.

Свойства делимости

6о Если a ⋮ b и с  N, то ac ⋮ bc, и наоборот.

Пример: 48 ⋮ 12 и 11  N, то (48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно.

⋮ p, либо b ⋮ p.

Пример: 176 = 8∙22 ⋮ 11 Очевидно, 22 ⋮ 11

9о Среди n последовательных натуральных
чисел одно и только одно делится на n.

Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)

2.

Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8 ⋮ 2.

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5).

Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.

На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Пример: 56730 ⋮ 10.

двумя последними цифрами.

Пример: 56736 ⋮ 4, т.к. 36 ⋮ 4.

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25.

На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами.

Пример: 56552 ⋮ 8, т.к. 552 ⋮ 8.

тремя последними цифрами.

Пример: 56375 ⋮ 125, т.к. 375 ⋮ 125.

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3.

На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9.

знаком «+», стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, взятых со знаком «–», стоящих на четных местах, делилась на 11.

Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11.

Признаки делимости

Для того чтобы натуральное число делилось

На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13).

Пример: 254 390 815 ⋮ 7, т.к. (815-390+254) ⋮ 7.

что произведение чисел в первой группе делится на произведение чисел во второй группе. Какое наименьшее значение может принимать частное от деления первого произведения на второе?

А теперь самостоятельно…

5 ∙ … ∙ (n – 3)(n – 2)(n – 1)n

Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720

2! = 1 ∙ 2 = 2

1! = 1

0! = 1

кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

А теперь задачи уровня С6…

кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

А теперь задачи уровня С6…

37 : 15 = 2 (ост. 7)
а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7;
где q = 2, r = 7.

q – неполное частное
r – остаток

Замечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0.

стоит любое число нулей) не является квадратом целого числа.

Упражнение 1: Найдите частное и остаток от деления
7 на 2
15 на 4
2017 на 5
2017 на 13
9 на 8
8 на 9

А теперь самостоятельно…

96

Делители числа 72:

Наибольший общий делитель (НОД)

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Делители числа 96:

Среди них есть одинаковые:

Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а
наибольшее из них называют наибольшим общим
делителем (НОД) чисел 72 и 96.

Найти НОД чисел: 72 и 96.

НОД (72; 96) = 24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24

простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1, т.е. НОД(a, b) = 1.

Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,
т.к. НОД (35; 36) = 1.

Свойства взаимно простых чисел.
Пусть числа a и b взаимно просты. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Если некоторое число делится на a и b, то оно делится и на их произведение ab.
2. Если an делится на b, то n делится на b.

полученное число делилось на 45?

А теперь самостоятельно…

Решение: Число 35*4* делится на 45, значит делится на 5 и на 9.
Осюда последняя цифра числа 35*4* - 0 или 5.
Если последняя цифра числа 35*4* - 0, и сумма цифр этого числа должна делиться на 9, то 3 + 5 + * + 4 + 0 = 12 + * . Для * возможен один вариант – цифра 6, тогда искомое число – 35640.
Если последняя цифра числа 35*4* - 5, и сумма цифр этого числа должна делиться на 9, то 3 + 5 + * + 4 + 5 = 17 + * . Для * возможен один вариант – цифра 1, тогда искомое число – 35145.

общее кратное (НОК)

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …

Кратные числа 18:

Среди них есть одинаковые:

Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а
наименьшее из них называют наименьшим общим
кратным (НОК) чисел 12 и 18.

Найти НОК чисел: 12 и 18.

НОК (12; 18) = 36

36, 72, 108, 144, …

разложений найдите НОД (3780; 7056) — наибольший общий делитель этих чисел и НОК(3780; 7056) – наименьшее общее кратное этих чисел.

Разложение на простые множители

7

2
2
3
3
3
5
7

3780
1890
945
315
105
35
7
1

2
2
2
2
3
3
7
7

7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1

7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72

НОД (3780; 7056)=
= 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252

НОК (3780; 7056)=
= 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 =
= 105840

б) р3 имеет четыре делителя: 1; р; р2;р3; в) рn имеет n + 1 делителей

9, 10, 11, 12, … –
ряд натуральных чисел N или (Z+)

-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … –
ряд противоположных натуральным чисел Z–

…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … –
ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0)

суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписываются на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2; 3 и 5, то на доске будет набор 2; 3; 5; 5; 7; 8; 10.
а) На доске выписан набор : -11; -7; -5; -4; -1; 2; 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых задуманных различных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел было задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли можно по этому набору однозначно определить задуманные числа?

А теперь задачи уровня С6…

Ответ: а) -7, - 4, 6; б) 5; в) нет

задумано n чисел, то объём набора равен 2n - 1. Ведь, по сути, мы рассматриваем всевозможные подмножества n-элементного множества (а их всего 2n ), за исключением пустого множества). Если задумано три числа, то набор состоит из семи чисел; Допустим, что задуманы одно отрицательное число a и два положительных. Пусть а = -11. Поскольку все остальные числа набора должны быть больше a. Но тогда задумано число 2 ( -11 + 2 = -9), а его нет в наборе, или задумано число 6
( -11 + 6 = -5), это число есть в наборе, но другого положительного, большего 6 нет. Противоречие показывает, что задуманы два отрицательных числа и одно положительное. Подходит -7, - 4, 6.
б) Пусть задуманы три числа. Четырех нулей среди них быть не может, поскольку среди задуманных чисел возможен набор из 0 и двух противоположных чисел, тогда появятся только три нуля. Пусть задуманы четыре числа. Опять могут появиться только три 0.
Две пары противоположных чисел могут дать нам три 0. Другие варианты – это такой же случай, как с тремя задуманными числами.
Если задуманы пять чисел, то четыре 0 в полученном наборе возможен. Например, две пары противоположных чисел и 0.
в) задуманные числа не всегда можно однозначно восстановить по набору. Например, задумаем сначала числа -3, 1, 2, а потом числа 3, - 1, -2. В обоих случаях получим один и тот же набор -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Взяли числа, дающие в сумме нуль, а потом поменяли у них знаки — набор не изменился.

-5, 7, -8, 9, 10, -11 по одному записывают
на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4

данном наборе ни для какого числа
нет ему противоположного по знаку, нет ни одного множителя, равного 0. Значит, 0 в произведении получиться не может.
б) в произведении каждый множитель должен быть нечётным, чтобы в результате получилось нечетное число. Следовательно, для каждого числа в паре должно быть одно число чётное, а другое нечётное. Однако из
условия вытекает, что указанная последовательность содержит 4 чётных числа и 6 нечётных. Делаем вывод, что два множителя обязательно будут чётными, значит и произведение обязательно будет четным. В частности, 1 получиться не может.
в) а = (1 - 2)( -2 + 1)( -3 + 4)(4 - 3)( -5 + 7)(7 - 5)( -8 + 9)(9 - 8)(10 - 11)( -11 + 10) = 4:
Следовательно, наименьшее неотрицательное значение равно 4. (Логика возможного набора чисел на карточках понятна – суммы должны принимать наименьшие значения).

или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Рациональные числа – это числа вида ,
где m – целое число, а n – натуральное.
Q - множество рациональных чисел.

Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714);

6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0).

в виде обыкновенной дроби.

х = 1,(23) = 1,23232323…
Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период:
100х = 123,232323…
х = 1,232323…
100х – х = 122,000000…
Т.е. 99х = 122, откуда х =

Пример (1 способ):

–

1,(23) = 1,232323… = 1 + 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + …
Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S1, где S1 = b1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01, и первым членом b1 = 0,23:
S1 = =
S = 1 + =

Пример (2 способ):

Знаменатели дробей: y, 3y, 7y (по условию задачи).

3. Дроби:

4. Из условия задачи следует: первая дробь
вторая дробь третья дробь

Ответ:

А теперь самостоятельно…

им числа и число нуль, то получится множество чисел, которые называют действительными числами.

Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел, которое обозначают R.

Действительные числа

R.

Иррациональные и действительные числа

Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число – разумное число», «иррациональное число – неразумное число»).

Примеры:

второго, равен предыдущему, увеличенному на одно
и то же число, которое называется разностью
арифметической прогрессии.

Формула n-ого члена – позволяет вычислить член арифметической прогрессии с любым заданным номером
аn= а1 + d(n – 1),
где а1 – первый член арифметической прогрессии и d – разность арифметической прогрессии

равен предыдущему, умноженному
на одно и то же число, которое называется
знаменателем геометрической прогрессии.

между предыдущим и последующим членами прогрессии

Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами последовательности
(bn >0)

арифметическая

геометрическая

общую сумму 2 р. 80 к. Определить стоимость марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.

1. Пусть x рублей – стоимость самой дешевой марки.
2. Тогда 2,5x рублей – стоимость самой дорогой марки.
3. Стоимость всех четырех марок по условию есть сумма членов арифметической прогрессии,
т. е., x = 0,4.
4. Из формулы общего члена прогрессии имеем: a4=a1+3d, 2,5 = x + 3d, 1 = 0,4 + 3d, d = 0,2.
a2= 0,4 +0,2 = 0,6, a3= 0,6 + 0,2 = 0,8.
Ответ: 0,4; 0,6; 0,8; 1.

А теперь самостоятельно…

7; : : : ; б) 5; 8; 11; 14; : : : ; в) 1; 4; 9; 16; : : : ; г) 1; - 2; 3; - 4; : : :

А теперь самостоятельно…

8, а52 = 12. Найдите разность арифметической прогрессии.

3. Члены некоторой бесконечной арифметической прогрессии изображены (рис.1) точками на координатной плоскости. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

4. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии 4; 8; …

Найдите b5. ( для q > 0 )
(72)

7. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого. Найдите второй и четвёртый члены.
(1; 7)

А теперь самостоятельно…

10.В амфитеатре расположены 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр? (1900)

8. За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день. (52)
9.В сборнике по подготовке к экзамену-240 задач. Ученик планирует начать их решение 2 мая, а закончить 16 мая, решая каждый день на две задачи больше, чем в предыдущий день. Сколько задач ученик запланировал решить 12 мая? (22)

100;
S₁₀ = ½(100+280) ∙ 10 =1900.
Ответ:1900 человек вмещает амфитеатр.

8.Решение:
S₁₆=½ (2∙а₁ + 3∙15) ∙16;
472 =16 а₁ + 360;
а₁ = (472- 360):16=7.
а₁₆ =7+ 3 ∙ (16-1)=52.
Ответ: 52 коралла украл Карл в последний день.

9.Решение: 240=½(2 а₁ +2 ∙14) ∙ 15;
240:15= а₁ + 14; а₁ = 2;
а₁₁ = 2+2 ∙ 10 = 22.
Ответ:22 задачи надо решить 12 мая.

Решение

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6075.
Может ли последовательность состоять из трёх членов?
Может ли последовательность состоять из двух членов?
Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение п, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найти все возможные п, если сумма значений всех данных чисел равна 111.

А теперь задачи уровня С6…

чисел.


а) Существуют ли такие прогрессии, для которых
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение а3b3, если

некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений.

Суть метода: Нужно найти наименьшее значение некоторой величины А. Действуем в два этапа:

Оценка. Показываем, что выполнено неравенство
А  .
2) Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство А = .

Метод «Оценка плюс пример»

(каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ?

А теперь задачи уровня С6…

Ответ: нет; да; 6.

Разобьем все числа на три группы по 7 чисел и начнем расстановку чисел от 1 до 7. Затем, когда будет расставлена вторая тройка чисел, можно заметить, что появится пара чисел через одно (8 и 2) разность между которыми равна 6. Меньшей разности получить невозможно.