Презентация, доклад по математике Теория вероятностей в заданиях ОГЭ и ЕГЭ

категории МБОУ «Игоревская СШ» Кузнецовой Валентиной Петровной.

2019 год.

всех равновозможных исходов

Формула вероятности противоположного события:

события – это события, которые не наступают в одном опыте. Независимые события – это события, наступление одного из которых никак не влияет на наступление другого.

тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

«+»


Если идёт пересечение (∩), т.е. союз и, то надо вероятности «·»

на 48. 18 : 900 = 0,02

2. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии. Ответ:0,18

3. Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут. Ответ:0,875

4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по 4 команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе. Ответ: 0,25

Призы распределены по банкам случайно. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Аля не найдёт приз в своей банке. Ответ: 0,75

6. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. 0,35+0,2=0,55

7. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 19 раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Ответ: 0,05

Решение: Количество пакетиков с зеленым чаем равно x, тогда пакетиков с черным чаем 19x, а всего 20x.

рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

  Решение.
Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с
ней есть два места, на каждое из которых претендует
8 человек, из которых только одна девочка. Таким
образом, вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна    2*1/8=0,25
А вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом равна  0,75
 
Ответ: 0,25
 

как 7: 13 (других животных нет). Найдите вероятность того, что случайно встреченное в этом конехозяйстве животное окажется пони.
Решение. Если обозначить число пони через 7x, то число остальных
лошадей будет равно 13x, а всех животных на конюшне будет 20x. То-
гда вероятность случайно встретить пони равна
7x/20x=7/20=0,35.
Ответ. 0,35.

уток в 4 раза больше, чем гусей, и на 20% меньше, чем кур. Найдите вероятность того, что случайно увиденная на этой птицеферме птица окажется гусем.

Решение. Если обозначить число кур через x, то число уток будет равно 0,8x, а число гусей—в 4 раза меньше, т. е. 0,2x. Значит, число всех птиц на этой птицеферме равно x + 0,8x + 0,2x = 2x. Поэтому вероятность случайно увидеть гуся будет равна 0,2x/2x =0,1.
Ответ: 0,1.

и выдры. Найдите вероятность того, что случайно встреченное в заповеднике водоплавающее животное окажется бобром, если из трёх следующих утверждений два истинны, а одно ложно:
1) бобры составляют 65% водоплавающих животных заповедника;
2) ондатры составляют 54% водоплавающих животных заповедника;
3) выдры составляют 43% водоплавающих животных заповедника.

Решение. Предположим, что утверждение 1 истинно. Тогда оба
утверждения 2 и 3 ложны, так как общее число животных не может
быть больше 100%. По условию только одно утверждение является
ложным. Получили противоречие. Значит, утверждение 1 является
ложным, а утверждения 2 и 3 истинны. Поэтому бобры составляют
100% − 54% − 43% = 3% водоплавающих животных заповедника,
а искомая вероятность равна 0,03.
Ответ. 0,03.

трижды. Найдите вероятность того, что орел а) не выпадет ни разу; б)выпадет 2 раза.

1 : 8 = 0,125 – вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Ответ: 0,125

3 : 8 = 0,375 – вероятность того, что выпадет орел при броске 2 раза.
Ответ: 0,375

Решение.

того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Кубик бросаем 2 раза, значит всего
имеется N = 6² = 36 возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы в виде пар чисел: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1).
Значит, N(A) = 4 – число благоприятных исходов.
По формуле классической вероятности имеем: P = 4:36 = 1/9 ≈ 0,11111….
Ответ: 0,11

гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Пусть событие C = «А. выиграл белыми»,
D = «А. выиграл чёрными».
По условию, P(C)=0,5; P(D)=0,34
Необходимо найти вероятность пересечения событий С и D, т. е. P(C∩D).
События C и D независимы (результат одной партии не зависит от результата другой).
Вероятность наступления P(C∩D) равна произведению P(C) и P(D) , т.е наступят события C и D
P(C∩D)= P(C) ∙ P(D) =0,5 ∙ 0,34=0,17 Ответ: 0,17

может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:
Найдем вероятность, что неисправны оба автомата.
Эти события независимы, т.е. 0,12² = 0,0144
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один
автомат – противоположное, значит 1 – 0,0144 = 0,9856

Ответ: 0,9856

Задача №9. В классе 21 человек. Среди них два друга Андрей и Дима. Класс случайным образов делится на 7 групп, по 3 человека в каждой группе. Какова вероятность того, что Андрей и Дима окажутся в одной группе.

Решение.
Если взять А., то N=21-1=20.
Т.к. группа из 3-х человек, то для Д. остаётся только 2 места, т.е. N(А)=2.
Р = N(А):N =2:20=1/10 = 0,1 . Ответ: 0, 1

– по одному из каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями, Порядок выступлений определяет жеребьевка. Какова вероятность, что выступление представителя из России состоится в третий день конкурса.

Решение. N = 50
N(A)=(50-26) : 4 = 6
=> Р(А)= 6 : 50=3/25
Ответ: 3/25=0,12

Задача №11. Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: Вероятность попадания = 0,85.
Вероятность промаха = 1 – 0,85 = 0,15.
А = {попадание, попадание, промах, промах}
События независимые. По формуле умножения вероятностей:
Р(А) = 0,85·0,85·0,15·0,15 = =0,7225·0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02.
Ответ: 0,02

решит больше 10 задач, равна 0,75. Вероятность того, что Т. верно решит больше 9 задач, равна 0,8. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 10 задач.

Для наглядности нанесем данные из условия на прямую:

Решение: Тогда видим, что событие A - Решил больше 9 задач
состоит из объединения несовместных событий B = Решил больше 10 задач и C = Решил ровно 10 задач , а значит, его вероятность равна сумме вероятностей: P(A)=P(B)+P(C). Так как требуется найти вероятность события C, то P(C)=P(A)−P(B), то есть P(C)=0,8−0,75=0,05. Ответ: 0,05

здорового человека окажется ниже 36,8∘C, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8∘C или выше

Решение: События “Температура тела ниже 36,8∘C” и “Температура тела выше или равна 36,8∘C” противоположные, значит, сумма их вероятностей равна 1. Тогда искомая вероятность равна: 1−0,81=0,19. Ответ: 0,19

меньше 16 пассажиров } состоит из двух непересекающихся событий B = { В автобусе окажется меньше 10 пассажиров } и C = { В автобусе окажется от 10 до 15 пассажиров }, значит, для вероятностей можно записать: P(A)=P(B)+P(C). Так как нам нужно найти вероятность события C, то: P(C)=P(A)−P(B)=0,96−0,55=0,41. Ответ: 0,41

Задача №14. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 16 пассажиров, равна 0,96. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,55. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 15.

0,95. Вероятность того, что он прослужит два года или больше, равна 0,88. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но не менее года.

Решение. A = «принтер прослужит больше года, но меньше двух лет»,
В = «принтер прослужит больше двух лет»,
С = «принтер прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «принтер прослужит больше года»
эти события несовместны, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей.
С - принтер выйдет из строя ровно через два года равна нулю
Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = Р(А) + Р(В)
0,95 = Р(А) + 0,88
Р(А) = 0,07. Ответ: 0,07

клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца а) заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга); б) свободны.

Решение: а) Событие А – занят с клиентом первый продавец.
Событие В – занят с клиентом второй продавец.
Событие С – занят с клиентом третий продавец.
Р(А) = Р(В) = Р(С) =0,6
Событие Р(A∩B∩C) - все три продавца заняты одновременно. (союз «и»)
Событие P(A∩B∩C) = P(А)∙P(В)∙P(С)
События А, В и С независимы.
P(A∩B∩C) =0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 = 0,216. б) б) 1-0, 216=0,784
Ответ: 0,216 ; 0,784

гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Пусть событие C = «А. выиграл белыми»,
D = «А. выиграл чёрными».
По условию, P(C)=0,5; P(D)=0,34
Необходимо найти вероятность пересечения событий С и D, т. е. P(C∩D).
События C и D независимы (результат одной партии не зависит от результата другой).
Вероятность наступления P(C∩D) равна произведению P(C) и P(D) , т.е наступят события C и D
P(C∩D)= P(C) ∙ P(D) =0,5 ∙ 0,34=0,17