Презентация, доклад по математике Решение комбинаторных задач Подготовка к ЕГЭ

Содержание

Правило суммыЕсли элемент x можно выбрать способами nx и если элемент y можно выбрать ny способами, то выбор «либо x, либо y» можно осуществить способами nx+ ny.Nx=4Ny=5Выбираем один шарЛюбой цветNx +Ny=4+5=9 способов

Слайд 1Подготовка к ЕГЭ по математике (В4) Решение комбинаторных задач
Зарьянцева В.П.

Подготовка к ЕГЭ по математике (В4) Решение комбинаторных задач Зарьянцева В.П.

Слайд 3Правило суммы
Если элемент x можно выбрать способами nx и если элемент

y можно выбрать ny способами, то выбор «либо x, либо y» можно осуществить способами nx+ ny.

Nx=4

Ny=5

Выбираем один шар

Любой цвет

Nx +Ny=4+5=9 способов

Правило суммыЕсли элемент x можно выбрать способами nx и если элемент y можно выбрать ny способами, то

Слайд 4Пример 1
В коробке 10 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в

линию. Сколькими способами можно выбрать одну тетрадь?
Решение: или – логическая сумма
10+5=15 (выбор неважен)
Пример 1В коробке 10 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линию. Сколькими способами можно выбрать одну

Слайд 5Пример1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из

множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?

Решение:
к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28),
к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75)
к1+к2 = 5+4 = 9
Пример1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?Решение:

Слайд 6Правило произведения
Если элемент x можно выбрать nx способами и если после

его выбора элемент y можно выбрать ny способами, то выбор упорядоченной пары (x, y) можно осуществить nx∙ ny способами.

Nx=4

Ny=5

Выбираем пару шаров

Синий и рыжий

Nx ∙Ny=4∙5=20 способов

Правило произведенияЕсли элемент x можно выбрать nx способами и если после его выбора элемент y можно выбрать

Слайд 7Пример 2
В магазине "Все для чая'' есть 5 разных чашек и

3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

5*3=15
Пример 2В магазине

Слайд 8Пример 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр

1,3,5,7,9?
Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)
б) Сколько среди них чисел, кратных 5?
Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.
На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.
N= 5х1 =5

Пример 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?Решение: N= 5х5 = 25 (

Слайд 9Пример5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг

в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.
а)Сколько всего стран могут использовать такую символику?
Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4х3х2х1=24

Пример5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых

Слайд 10б) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной

полосами, расположенными рядом?

Решение: Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12























































б) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?Решение: Две полосы, всегда

Слайд 11Пример7. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы

Коля и Оля оказались рядом?
Решение: Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.

Пример7. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом?Решение: Будем

Слайд 12Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2

способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов

Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего
4х2х4х3х2х1=192 способами.

По правилу сложения 48+192= 240 способов
Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить

Слайд 13Повторения есть
Повторения есть
НЕТ
ДА
Размещения
Размещения с повторениями
Перестановки
Перестановки с повторениями
ДА

Повторения естьПовторения естьНЕТДАРазмещенияРазмещения с повторениямиПерестановкиПерестановки с повторениямиДА

Слайд 14Перестановки

Перестановки

Слайд 15Перестановки без повторений
Перестановками без повторений из n различных элементов называются все

возможные последовательности этих n элементов. Число перестановок без повторений из n элементов равняется

по определению
Перестановки без повторенийПерестановками без повторений из n различных элементов называются все возможные последовательности этих n элементов. Число

Слайд 16Перестановки без повторений
6 различных перестановок

Перестановки без повторений6 различных перестановок

Слайд 17Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?

Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?

Слайд 18Задача 19. Даны цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных чисел можно составить из

этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.
Примеры: 1234567, 2354167, 7546321.
Перестановка-упорядоченное множество.
Число перестановок из n элементов вычисляют по формуле Pn=n!.
По условию n=7
Так из 7 цифр можно 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 различных чисел.

Задача 19. Даны цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой

Слайд 19Перестановки с повторениями
Перестановки с повторением из n элементов k типов
число

элементов 1-го типа n1; число элементов 2-го типа n2; …; число элементов k-го типа nk,
все возможные последовательности исходных n элементов. Число перестановок с повторениями обозначают
подсчитывают так:
Перестановки с повторениямиПерестановки с повторением из n элементов k типов число элементов 1-го типа n1;  число

Слайд 20Перестановки с повторениями
n1=2
n2=1
n=n1+n2=2+1=3
3 различные перестановки

Перестановки с повторениямиn1=2n2=1n=n1+n2=2+1=33 различные перестановки

Слайд 21Пример 4
Дворовая футбольная команда выбирает капитана и его заместителя. Сколькими способами

это можно сделать, если в команде 11 человек?


Пример 4Дворовая футбольная команда выбирает капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать, если в команде

Слайд 22Пример 5
Сколько различных гирлянд можно сделать, если у нас 5 красных,

7 синих и 4 желтых светодиода?



Пример 5Сколько различных гирлянд можно сделать, если у нас 5 красных, 7 синих и 4 желтых светодиода?

Слайд 23Пример Даны цифр: 1,2,2,3,3,3,4,. Сколько различных чисел можно составить из этих

цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.
Примеры: 1223334, 4232331,2233314.
Некоторые числа при перестановке одинаковых цифр не меняются.
По условию n=7, n1=2 , n2=3



Пример Даны цифр: 1,2,2,3,3,3,4,. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из

Слайд 24Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную

и четырехместную?

Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

Слайд 25Сколько различных гирлянд получится, если замкнуть гирлянду из предыдущей задачи в

кольцо?

Сколько различных гирлянд получится, если замкнуть гирлянду из предыдущей задачи в кольцо?

Слайд 26Размещения
(выборки)

Размещения(выборки)

Слайд 27Размещения без повторений
Размещениями без повторений из n различных элементов по m

элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.
Число размещений без повторений из n элементов по m обозначается символом

Размещения без повторенийРазмещениями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m

Слайд 28Размещения без повторений
n=3
Выбираем два шара
m=2
Порядок выбора важен!
6 различных выборок

Размещения без повторенийn=3Выбираем два шараm=2Порядок выбора важен!6 различных выборок

Слайд 29Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания

при выборе из 11 дисциплин.
Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Слайд 30Пример
Из группы в 15 человек выбирается 4 участника эстафеты 800+400+200+100.

Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?


Пример Из группы в 15 человек выбирается 4 участника эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по

Слайд 31Размещения с повторениями
Размещения с повторениями из элементов k типов по m

элементов (k и m могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.
Размещения с повторениямиРазмещения с повторениями из элементов k типов по m элементов (k и m могут быть

Слайд 32Размещения с повторениями
k=2
n=3
8 вариантов выборок

Размещения с повторениямиk=2n=38 вариантов выборок

Слайд 33Пример 8
Назовем натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только

нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных "симпатичных" чисел?
k=5 порядок важен


Пример 8Назовем натуральное число

Слайд 34Шифр сейфа состоит из 6 цифр, которые должны набираться последовательно и

могут повторяться. Чему в этом случае равно общее число всех возможных комбинаций шифра?
Шифр сейфа состоит из 6 цифр, которые должны набираться последовательно и могут повторяться. Чему в этом случае

Слайд 35Сочетания

Сочетания

Слайд 36Сочетания без повторений
Сочетаниями без повторений из n различных элементов по m

элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n, которые отличаются друг от друга составом элементов.
Сочетания без повторенийСочетаниями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m

Слайд 37Сочетания без повторений
n=3
Выбираем два шара
m=2
Порядок выбора не важен!
3 сочетания

Сочетания без повторенийn=3Выбираем два шараm=2Порядок выбора не важен!3 сочетания

Слайд 38Пример 9
Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20

человек?
Пример 9Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Слайд 39Сколькими способами можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах,

если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков.
Сколькими способами можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по

Слайд 40Сочетания с повторениями
Сочетаниями с повторениями из элементов k типов по m

элементов (m и k могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличают друг от друга составом элементов.
Сочетания с повторениямиСочетаниями с повторениями из элементов k типов по m элементов (m и k могут быть

Слайд 41Сочетания с повторениями
k=2
m=3
4 варианта сочетаний

Сочетания с повторениямиk=2m=34 варианта сочетаний

Слайд 42Пример 10
В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики. Все

цветы на внешний вид одинаковы. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы?

Решение Так как по условию задачи все цветы на внешний вид одинаковы, то мы получаем формулу без повторений. Вы выбираем цветы в букет, порядок выбора не важен, следовательно, мы получаем формулу сочетаний без повторений: два типа цветов, выбираем три цветка.

Пример 10В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики. Все цветы на внешний вид одинаковы. Сколькими

Слайд 43В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить

12 открыток для поздравлений?
В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 12 открыток для поздравлений?

Слайд 45Один выбор (анализ) элементов или несколько? Если один, то см. п.3
Каким

союзом варианты выбора (анализа) соединяются? «И» – правило произведения, «или» – правило суммы.
Для каждого выбора задаются следующие вопросы:
Все элементы используются? Если «да», то это перестановки. Переходим к п. 5.
Порядок выбора элементов важен? Если «да», то это размещения, «нет» – сочетания.
Есть ли одинаковые элементы? Если «да» – то формула с повторениями, «нет» – без повторений.
Один выбор (анализ) элементов или несколько? Если один, то см. п.3Каким союзом варианты выбора (анализа) соединяются? «И»

Слайд 46Сколько различных гирлянд можно сделать из 10 светодиодов разного цвета?
При замыкании

линии в кольцо перестановки, являющиеся циклическими сдвигами относительно друг друга, становятся одинаковыми. Возьмем, например, следующую перестановку и посмотрим, сколько других перестановок явлюяются ее циклическим сдвигом: 1. ккккксссссссжжжж 2. кккксссссссжжжжк 3. ккксссссссжжжжкк ... 15. жжккккксссссссжж 16. жккккксссссссжжж Следовательно, все перестановки разбиваются на группы по 16 цепочек в группе. Итак, число кольцевых гирлянд будет

Сколько различных гирлянд можно сделать из 10 светодиодов разного цвета?При замыкании линии в кольцо перестановки, являющиеся циклическими

Слайд 47Пример 11
Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в

одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?
Пример 11Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено»

Слайд 48У людоеда в подвале томятся 25 пленников.
а) Сколькими способами он

может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?
б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Решение 25*24*23 = 13800 способов. 

Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали  3·2·1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число  13800 : 6 = 2300.

У людоеда в подвале томятся 25 пленников. а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе

Слайд 49Волонтеры разделились на две равные группы для розыска заблудившегося ребенка. Среди

них только 4 знакомы с местностью. Каким числом способов они могут разделиться так, чтобы в каждую группу вошло 2 человека, знающих местность, если всего их 16 человек?

Решение Мы делим всех волонтеров на две равные группы, то есть выбираем участников первой группы, а все остальные переходят в другую группу. Один выбор. Теперь рассмотрим этот выбор первой группы. Выбор состоит из выбора волонтеров, знающих местность, и выбора волонтеров, незнающих местность. Следовательно, будем соединять эти два числа правилом произведения. Найдем число выборов волонтеров, знающих местность. Всего таких волонтеров 4 человека. Нам нужно 2. Порядок выбора не важен. Сочетания без повторений.
Найдем число выборов волонтеров, незнающих местность. Всего их 16-4=12 , выбираем шесть человек (ровно половину). Общее число выборов:
 
 
 

Волонтеры разделились на две равные группы для розыска заблудившегося ребенка. Среди них только 4 знакомы с местностью.

Слайд 50Сколько существует натуральных чисел, меньших 25610, таких, что в записи каждого

числа в двоичной системе счисления будет равное количество единиц и значащих нулей. В ответе укажите целое число.

Решение Переведем данное число из десятичной системы счисления в двоичную. 25610 =1000000002 Следовательно, числа меньше данного состоят из восьми, семи, шести, пяти, четырех, трех, двух и одного разряда.
1) Рассмотрим восьмиразрядные числа. 1ХХХХХХХ. Так как мы точно знаем сколько нулей и единиц, то мы используем формулу перестановки с повторениями.

2) Рассмотрим семиразрядные числа. Очевидно, что такие числа не удовлетворяют условию задачи, так как не могут состоять из одинакового числа единиц и нулей. Аналогичный вывод можно сделать о пятиразрядных, трехразрядных и одноразрядных числах.

Сколько существует натуральных чисел, меньших 25610, таких, что в записи каждого числа в двоичной системе счисления будет

Слайд 513) Рассмотрим шестиразрядные числа. Рассуждая аналогично п.1 получаем:
4) Четырехразрядные числа.
5) Двухразрядное

число только одно 102

Итак, у нас может быть или восьмиразрядное число, или шестиразрядное число, или четырехразрядное число, или двухразрядное число. Правило суммы.

3) Рассмотрим шестиразрядные числа. Рассуждая аналогично п.1 получаем: 4) Четырехразрядные числа.5) Двухразрядное число только одно 102Итак, у

Слайд 52Пример 15
В коробке находятся 16 шариков – 4 красных, 4 синих

и 8 черных. Из коробки наугад вынули два шарика. Какое из перечисленных сообщений несет в себе наибольший объем информации?
Один из вынутых шариков – красного цвета, а другой – синего;
Один из вынутых шариков – синего цвета, а другой – черного;
Оба вынутых шарика красного цвета;
Оба вынутых шарика черного цвета;
Цвета вынутых шариков отличаются друг от друга;
Вынуты шарики одного и того же цвета.
Пример 15В коробке находятся 16 шариков – 4 красных, 4 синих и 8 черных. Из коробки наугад

Слайд 53Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, 2 ладьи, 2

слонов и 2 коней) на первой линии шахматной доски?
Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, 2 ладьи, 2 слонов и 2 коней) на первой

Слайд 54Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

Решение
В этой задаче нам обязательно нужно использовать цифры 2, 4 и 5. Но они могут стоять на разных местах и в разном порядке. У нас три "важные" и две "неважные" цифры в числе - два типа цифр. Это перестановки с повторениями.



Теперь посчитаем сколько различных перестановок "важных" цифр между собой. Это перестановки без повторений

Итак у нас 60 различных перестановок. Теперь посчитаем, сколько различных "неважных" цифр может быть в каждой из этих перестановок. Мы выбираем две "неважные" цифры из шести. Порядок выбора важен. Это размещения без повторений.

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие

Слайд 55В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько

авиалиний в этой стране?

Решение:
Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380.
Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?  Решение:

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть