Презентация, доклад по математике Решение комбинаторных задач Подготовка к ЕГЭ

Презентация по математике Решение комбинаторных задач Подготовка к ЕГЭ, предмет презентации: Алгебра. Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 55 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

Подготовка к ЕГЭ по математике (В4) Решение комбинаторных задач

Зарьянцева В.П.


Слайд 2

Слайд 3
Текст слайда:

Правило суммы

Если элемент x можно выбрать способами nx и если элемент y можно выбрать ny способами, то выбор «либо x, либо y» можно осуществить способами nx+ ny.

Nx=4

Ny=5

Выбираем один шар

Любой цвет

Nx +Ny=4+5=9 способов


Слайд 4
Текст слайда:

Пример 1

В коробке 10 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линию. Сколькими способами можно выбрать одну тетрадь?
Решение: или – логическая сумма
10+5=15 (выбор неважен)


Слайд 5
Текст слайда:

Пример1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?

Решение:
к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28),
к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75)
к1+к2 = 5+4 = 9


Слайд 6
Текст слайда:

Правило произведения

Если элемент x можно выбрать nx способами и если после его выбора элемент y можно выбрать ny способами, то выбор упорядоченной пары (x, y) можно осуществить nx∙ ny способами.

Nx=4

Ny=5

Выбираем пару шаров

Синий и рыжий

Nx ∙Ny=4∙5=20 способов


Слайд 7
Текст слайда:

Пример 2

В магазине "Все для чая'' есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

5*3=15


Слайд 8
Текст слайда:

Пример 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?
Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)
б) Сколько среди них чисел, кратных 5?
Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.
На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.
N= 5х1 =5


Слайд 9
Текст слайда:

Пример5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.
а)Сколько всего стран могут использовать такую символику?
Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4х3х2х1=24


Слайд 10
Текст слайда:

б) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

Решение: Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12
























































Слайд 11
Текст слайда:

Пример7. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом?
Решение: Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.


Слайд 12
Текст слайда:

Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов

Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего
4х2х4х3х2х1=192 способами.

По правилу сложения 48+192= 240 способов


Слайд 13
Текст слайда:

Повторения есть

Повторения есть

НЕТ

ДА

Размещения

Размещения с повторениями

Перестановки

Перестановки с повторениями

ДА


Слайд 14
Текст слайда:

Перестановки


Слайд 15
Текст слайда:

Перестановки без повторений

Перестановками без повторений из n различных элементов называются все возможные последовательности этих n элементов. Число перестановок без повторений из n элементов равняется

по определению


Слайд 16
Текст слайда:

Перестановки без повторений

6 различных перестановок


Слайд 17
Текст слайда:

Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?


Слайд 18
Текст слайда:

Задача 19. Даны цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.
Примеры: 1234567, 2354167, 7546321.
Перестановка-упорядоченное множество.
Число перестановок из n элементов вычисляют по формуле Pn=n!.
По условию n=7
Так из 7 цифр можно 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 различных чисел.


Слайд 19
Текст слайда:

Перестановки с повторениями

Перестановки с повторением из n элементов k типов
число элементов 1-го типа n1; число элементов 2-го типа n2; …; число элементов k-го типа nk,
все возможные последовательности исходных n элементов. Число перестановок с повторениями обозначают
подсчитывают так:


Слайд 20
Текст слайда:

Перестановки с повторениями

n1=2

n2=1

n=n1+n2=2+1=3

3 различные перестановки


Слайд 21
Текст слайда:

Пример 4

Дворовая футбольная команда выбирает капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать, если в команде 11 человек?



Слайд 22
Текст слайда:

Пример 5

Сколько различных гирлянд можно сделать, если у нас 5 красных, 7 синих и 4 желтых светодиода?




Слайд 23
Текст слайда:

Пример Даны цифр: 1,2,2,3,3,3,4,. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.
Примеры: 1223334, 4232331,2233314.
Некоторые числа при перестановке одинаковых цифр не меняются.
По условию n=7, n1=2 , n2=3




Слайд 24
Текст слайда:

Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?


Слайд 25
Текст слайда:

Сколько различных гирлянд получится, если замкнуть гирлянду из предыдущей задачи в кольцо?


Слайд 26
Текст слайда:

Размещения

(выборки)


Слайд 27
Текст слайда:

Размещения без повторений

Размещениями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.
Число размещений без повторений из n элементов по m обозначается символом


Слайд 28
Текст слайда:

Размещения без повторений

n=3

Выбираем два шара

m=2

Порядок выбора важен!

6 различных выборок


Слайд 29
Текст слайда:

Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.


Слайд 30
Текст слайда:

Пример

Из группы в 15 человек выбирается 4 участника эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?



Слайд 31
Текст слайда:

Размещения с повторениями

Размещения с повторениями из элементов k типов по m элементов (k и m могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.


Слайд 32
Текст слайда:

Размещения с повторениями

k=2

n=3

8 вариантов выборок


Слайд 33
Текст слайда:

Пример 8

Назовем натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных "симпатичных" чисел?
k=5 порядок важен



Слайд 34
Текст слайда:

Шифр сейфа состоит из 6 цифр, которые должны набираться последовательно и могут повторяться. Чему в этом случае равно общее число всех возможных комбинаций шифра?


Слайд 35
Текст слайда:

Сочетания


Слайд 36
Текст слайда:

Сочетания без повторений

Сочетаниями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n, которые отличаются друг от друга составом элементов.


Слайд 37
Текст слайда:

Сочетания без повторений

n=3

Выбираем два шара

m=2

Порядок выбора не важен!

3 сочетания


Слайд 38
Текст слайда:

Пример 9

Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?


Слайд 39
Текст слайда:

Сколькими способами можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков.


Слайд 40
Текст слайда:

Сочетания с повторениями

Сочетаниями с повторениями из элементов k типов по m элементов (m и k могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличают друг от друга составом элементов.


Слайд 41
Текст слайда:

Сочетания с повторениями

k=2

m=3

4 варианта сочетаний


Слайд 42
Текст слайда:

Пример 10

В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики. Все цветы на внешний вид одинаковы. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы?

Решение Так как по условию задачи все цветы на внешний вид одинаковы, то мы получаем формулу без повторений. Вы выбираем цветы в букет, порядок выбора не важен, следовательно, мы получаем формулу сочетаний без повторений: два типа цветов, выбираем три цветка.


Слайд 43
Текст слайда:

В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 12 открыток для поздравлений?


Слайд 45
Текст слайда:

Один выбор (анализ) элементов или несколько? Если один, то см. п.3
Каким союзом варианты выбора (анализа) соединяются? «И» – правило произведения, «или» – правило суммы.
Для каждого выбора задаются следующие вопросы:
Все элементы используются? Если «да», то это перестановки. Переходим к п. 5.
Порядок выбора элементов важен? Если «да», то это размещения, «нет» – сочетания.
Есть ли одинаковые элементы? Если «да» – то формула с повторениями, «нет» – без повторений.


Слайд 46
Текст слайда:

Сколько различных гирлянд можно сделать из 10 светодиодов разного цвета?

При замыкании линии в кольцо перестановки, являющиеся циклическими сдвигами относительно друг друга, становятся одинаковыми. Возьмем, например, следующую перестановку и посмотрим, сколько других перестановок явлюяются ее циклическим сдвигом: 1. ккккксссссссжжжж 2. кккксссссссжжжжк 3. ккксссссссжжжжкк ... 15. жжккккксссссссжж 16. жккккксссссссжжж Следовательно, все перестановки разбиваются на группы по 16 цепочек в группе. Итак, число кольцевых гирлянд будет


Слайд 47
Текст слайда:

Пример 11

Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?


Слайд 48
Текст слайда:

У людоеда в подвале томятся 25 пленников.
а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?
б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Решение 25*24*23 = 13800 способов. 

Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали  3·2·1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число  13800 : 6 = 2300.


Слайд 49
Текст слайда:

Волонтеры разделились на две равные группы для розыска заблудившегося ребенка. Среди них только 4 знакомы с местностью. Каким числом способов они могут разделиться так, чтобы в каждую группу вошло 2 человека, знающих местность, если всего их 16 человек?

Решение Мы делим всех волонтеров на две равные группы, то есть выбираем участников первой группы, а все остальные переходят в другую группу. Один выбор. Теперь рассмотрим этот выбор первой группы. Выбор состоит из выбора волонтеров, знающих местность, и выбора волонтеров, незнающих местность. Следовательно, будем соединять эти два числа правилом произведения. Найдем число выборов волонтеров, знающих местность. Всего таких волонтеров 4 человека. Нам нужно 2. Порядок выбора не важен. Сочетания без повторений.
Найдем число выборов волонтеров, незнающих местность. Всего их 16-4=12 , выбираем шесть человек (ровно половину). Общее число выборов:
 
 
 


Слайд 50
Текст слайда:

Сколько существует натуральных чисел, меньших 25610, таких, что в записи каждого числа в двоичной системе счисления будет равное количество единиц и значащих нулей. В ответе укажите целое число.

Решение Переведем данное число из десятичной системы счисления в двоичную. 25610 =1000000002 Следовательно, числа меньше данного состоят из восьми, семи, шести, пяти, четырех, трех, двух и одного разряда.
1) Рассмотрим восьмиразрядные числа. 1ХХХХХХХ. Так как мы точно знаем сколько нулей и единиц, то мы используем формулу перестановки с повторениями.

2) Рассмотрим семиразрядные числа. Очевидно, что такие числа не удовлетворяют условию задачи, так как не могут состоять из одинакового числа единиц и нулей. Аналогичный вывод можно сделать о пятиразрядных, трехразрядных и одноразрядных числах.


Слайд 51
Текст слайда:

3) Рассмотрим шестиразрядные числа. Рассуждая аналогично п.1 получаем:

4) Четырехразрядные числа.

5) Двухразрядное число только одно 102

Итак, у нас может быть или восьмиразрядное число, или шестиразрядное число, или четырехразрядное число, или двухразрядное число. Правило суммы.


Слайд 52
Текст слайда:

Пример 15

В коробке находятся 16 шариков – 4 красных, 4 синих и 8 черных. Из коробки наугад вынули два шарика. Какое из перечисленных сообщений несет в себе наибольший объем информации?
Один из вынутых шариков – красного цвета, а другой – синего;
Один из вынутых шариков – синего цвета, а другой – черного;
Оба вынутых шарика красного цвета;
Оба вынутых шарика черного цвета;
Цвета вынутых шариков отличаются друг от друга;
Вынуты шарики одного и того же цвета.


Слайд 53
Текст слайда:

Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, 2 ладьи, 2 слонов и 2 коней) на первой линии шахматной доски?


Слайд 54
Текст слайда:

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

Решение
В этой задаче нам обязательно нужно использовать цифры 2, 4 и 5. Но они могут стоять на разных местах и в разном порядке. У нас три "важные" и две "неважные" цифры в числе - два типа цифр. Это перестановки с повторениями.



Теперь посчитаем сколько различных перестановок "важных" цифр между собой. Это перестановки без повторений

Итак у нас 60 различных перестановок. Теперь посчитаем, сколько различных "неважных" цифр может быть в каждой из этих перестановок. Мы выбираем две "неважные" цифры из шести. Порядок выбора важен. Это размещения без повторений.


Слайд 55
Текст слайда:

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Решение:
Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380.
Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.


Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть