Презентация, доклад по математике на тему Диофантовы уравнения (9 класс)

уравнений. Метод спуска или рассеивания.
Урок 3.
Решение диофантовых уравнений, как квадратных. Использование тождественные преобразований.
Урок 4.
Метод от противного. Метод остатков. Метод параметризации.
Урок 5.
Повторение и обобщение знаний по теме «Методы решения диофантовых уравнений»

и научиться применять теоремы о диофантовых уравнениях .
Ход урока
С уравнениями в математике (да и в повседневной жизни) нам приходится сталкиваться постоянно. В школьном курсе рассматривают далеко не все из огромного множества уравнений.
Немного подзабытыми и недостаточно изученными остаются диофантовы (неопределенные) уравнения. Скорее всего, каждому из нас приходилось не один раз решать уравнения в целых числах, возможно, даже не задумываясь над этим.

Далее

магазине свитер 19 рублей. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира - только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?
Комментарии

магазине свитер 19 рублей. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира - только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?
Комментарии
Вопрос задачи сводится к тому, чтобы узнать, сколько вы должны дать кассиру трехрублевок, чтобы, получив сдачу пятирублевками, уплатить 19 рублей. Неизвестных в задаче два - число трехрублевок, пусть их будет x, и число пятирублевок, пусть их будет y. Но составить мы можем лишь одно уравнение: 3x-5y=19
Хотя одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решение, но отнюдь еще не очевидно, что среди них найдется хоть одно с целыми положительными x и y. Вот мы и пришли к задаче, решаемой диофантовым уравнением.

Далее

или системы алгебраических уравнений, с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Такие уравнения могут иметь неизвестные не только в первой, но и в любой другой степени.
Историческая справка
Общий вид дифантового уравнения c двумя неизвестными: ax+by=c. Например, 5x+8y=39, x2-3y2=1

Перейти к упражнению

диофантовы уравнения имеют целые коэффициенты

Далее

математика Диофанта из Александрии. К сожалению, мы до сих пор не знаем точно, в каком веке он жил, однако большинство историков математики относят его работы к III веку. О его жизни нам практически ничего не известно, за исключением нескольких незначительных фактов, которые упоминаются в одной стихотворной задаче, вошедшей в более поздний греческий сборник математических головоломок.
Если в этой задаче приведены действительные факты, то, значит, Диофант женился в 33 года, у него был сын, умерший в среднем возрасте, а сам Диофант дожил до 84 лет.

Далее

его главного труда - математического трактата «Арифметика» (250-275гг). В нем подается 189 задач с решениями и пояснениями. По форме «Арифметика» просто сборник задач, но по содержанию – уникальное явление, настоящее чудо в истории математики. Уже вступление к этой книге свидетельствует о великом шаге вперед, который сделал Диофант в сравнении с математиками классической древности. Для обозначения неизвестного и его степеней, знака равенства Диофант употреблял сокращенную запись слов. Он искусно решал алгебраические и теоретико-числовые задачи, не давая общих методов решения. Диофант строил алгебру на арифметике, при этом со своим языком и символикой. Его можно считать автором первого алгебраического языка.
Поскольку большинство задач в этой книге предусматривают решения в целых числах, то для анализа подобного рода проблем стал применяться термин диофантов.
Сегодня диофантов анализ - это обширная, сложная область теории чисел, которой посвящена многочисленная научная литература.

Перейти к заданию

числах. Ответом на этот вопрос служат две следующие теоремы.
Теорема 1
Если свободный член неопределенного уравнения ax+by=c не делится на наибольший общий делитель коэффициентов a и b , то уравнение не имеет целых решений.
Теорема 2
Если коэффициенты a и b неопределенного уравнения ax+by=c являются взаимно простыми числами, то уравнение имеет, по крайней мере, одно целое решение.
Теорема 1 утверждает, что условие НОД(a;b)=1 является необходимым условием для разрешимости неопределенного уравнения ax+by=c в целых числах. Теорема 2 утверждает, что это условие является достаточным.

Далее

диофантовы уравнения:

6x+12y=13
6x+7y=14
18y+9z=82
7x+4y=56
x+2y=1

Далее

об исследовании диофантовых уравнений и основных методах их решения; научиться решать уравнения методом спуска
Ход урока
Неопределенные уравнения встречаются как в задачах Вавилона и Египта (II тыс. до н.э.), так и в трудах древнегреческих, китайских, индийских учёных. Они присутствуют в старинных русских и арабских задачах. Впервые решением неопределённых уравнений в целых числах занимались учёные Индии (V – XII вв.), предложившие общий метод для решения в целых числах неопределенных уравнений I степени с целыми коэффициентами, некоторых неопределенных уравнений II степени с двумя неизвестными.

Далее

теория решений этих уравнений первой степени была создана в 17 в. французским математиком К.Г. Баше; к началу 19 в. трудами П.Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж.Лагранжа и К.Гаусса в основном было исследовано общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными.
В исследовании диофантовых уравнений выше второй степени были достигнуты серьезные успехи лишь в 20 веке. Существует много направлений теории диофантовых уравнений. Так, известной задачей теории диофантовых уравнений является Великая теорема Ферма. Над теориями диофантовых уравнений трудились и другие математики: А. Туэ, Д.К. Фадеев, Б.Н. Делоне и другие.

Леонард Эйлер

Пьер Ферма

Далее

того или иного диофантового уравнения. Решить диофантово уравнение, означает найти все его целочисленные корни или доказать что таких корней нет. В диофантовом анализе имеется обширный набор приемов, каждый из которых эффективен в отдельном случае. В этом пособии будут рассмотрены следующие методы:

Далее

Для этого обратимся к древнему рецепту решения в целых числах неопределенного уравнения первой степени, который древнеиндийские математики называли методом спуска. Разберем его на примере уже знакомого нам из первого урока уравнения 3x-5y=19
Напомним условие задачи:
Вы должны уплатить за купленный в магазине свитер 19 рублей. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира - только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?

Далее

целые числа, равенство будет верным если (1+2y)/3 также целое число.
Обозначим это выражение буквой t. Тогда x=6+y+t, где t=(1+2y)/3, значит 3t=1+2y, а 2y=3t-1.
Поэтому y=(3t-1)/2=t+(t-1)/2.
Так как y, t – целые число, то и (t-1)/2 должно быть целым числом t1. Тогда y=t+ t1 , где t1 = (t-1)/2, значит 2 t1=t-1 и t=2 t1+t.
Значение t=2 t1+t подставляем в предыдущие равенства:
y=t+t1=(2t1+1)+t1=3t1+1
x=6+y+t=6+(3t1+1)+(2t1+1)=8+5t1
Итак, мы нашли выражения для x и y. Мы знаем, что эти числа не только целые, но и положительные:
8+5t1>0 и 3t1+1>0. Решив неравенства, заключаем, что t1=0, 1, 2, 3…
Соответствующие значения x = 8, 13, 18, 23, a y=1, 4, 7, 10…
Уравнение решено.

Далее

мы получили следующие формулы для переменных y=3t1+1 и x=8+5t1, который как оказывается связаны с коэффициентами исходного уравнения.
Теорема 3
Диофантовы уравнения вида ax+by=c, где a,b,c – целые числа, а также a и b – взаимно простые, имеет следующий ряд решений: если x0 и y0 – одно решение, то числа x=x0+bn, y=y0-an (n – любое число) тоже будут решениями.
Доказательство
Подставим в данное диофантово уравнение значение x и y. Получим a(x0+bn)+b(y0-an)=c
Раскроем скобки и приведем подобные
ax0 +abn+by0-ban=c
ax0 +by0=c
Что и требовалось доказать.

Далее

решать неопределенные уравнения первой степени небольшими коэффициентами.
Задание 4. Самостоятельно найдите не менее четырех целых решений уравнений.
5x+8y=39
8x-5y=19
7x-5y=1
32x+20y=1076

Примечание: первое решение уравнений попытайтесь подобрать устно, а следующие найдите по формулам

Далее

решать диофантовы уравнения, как квадратные относительно какой-либо переменной; научиться применять метод разложения на множители
Ход урока
Сначала необходимо вспомнить последовательность разложения выражений на множители:
Способ группировки
Вынесение общего множителя за скобки
Применение формул сокращенного умножения

Далее

вида ax+by=c. Однако часто встречаются диофантовы уравнения, которые не относятся к приведенному выше типу. Эти уравнения, как правило, можно решить только путем использования специфических приемов и методов. Сначала остановимся на тех случаях, когда левую часть уравнения путем тождественных преобразований целесообразно разложить на множители и привести решение неопределенного уравнения с двумя неизвестными к решению эквивалентной совокупности систем уравнений.
Рассмотрим этот метод, найдя все целые числа, которые являются решениями уравнения xy-3x+5y=25

Далее

последнего уравнения получаем, что числа (y-3) и (x+5) являются делителями числа 10.
Число 10 имеет 8 делителей: ±1, ±2, ±5, ±10.
Отсюда получаем 8 систем уравнений: и т.д.

Далее

их

Расcмотрим еще один пример.
Найти все целые решения уравнений x2-4y2=13
Решение
x2-4y2=13
(x-2y)(x+2y)=13
Делители 13: ±1, ±13.
Поэтому уравнение будет эквивалентно совокупности следующих систем:

Решением уравнения будут следующие пары целых чисел: (7;3), (7;-3), (-7;-3), (-7;3)

Далее

этом относительно новых замен получим диофантово уравнение, дальнейший анализ которого может оказаться более простым.

Иногда решение диофантового уравнения путем разложения на множители приводит к громоздким преобразованиям и является трудоемкой работой. В некоторых из этих случаев можно решить уравнение более изящным способом – рассмотреть уравнение, как квадратное относительно какой-либо переменной.
Решите уравнение в целых числах 3(x2+xy+y2)=x+8y

Далее

дискриминант больше 0:
-27y2+90y+1≥0
27y2-90y-1≤0
D/4=452+27=2052



Итак, у находится в промежутке
Так как значение у только целые, то условию удовлетворяет числа 0, 1, 2, 3.
Перебирая значения получим две пары ответов: (0;0) и (1;1)

Далее

чисел

xy+3x-5y=-3
x2-9y2=19
x3+y3=35

Примечание: используете формулы сокращенного умножения

Далее

научиться применять методы от противного, остатков и параметризации
Ход урока
Методы, которые будут рассмотрены на этом уроке используют для доказательства бесконечности или отсутствия решений диофантового уравнения. Нередко эти методы требуют смекалки и находчивости.
В первую очередь обратимся к методу от противного, который, как мы знаем, есть одним из наиболее общах методов доказательства математических утверждений. Поэтому применение этого метода при решении диофантовых уравнений во многих случаях является эффективным. Итак, пример.
Существуют ли решения уравнения x2-y2=1990 среди целых чисел?

Далее

чисел, которая является решением уравнения. Тогда
(x0-y0)(x0+y0)=1990
Числа x0-y0 и x0+y0 – одинаковой четности
Задание 7. Самостоятельно докажите это утверждение
(Примечание: используйте знания о четности чисел)
Если x0-y0 и x0+y0 – одновременно нечетные, то в левой части получим нечетное число (нечетно*нечетное=нечетное), которое не может быть равным четному числу 1990. имеем противоречие.
Если одновременно x0-y0 и x0+y0 четные, то произведение кратно 4, но число 1990 на 4 не делится. Снова пришли к противоречию.
Итак, вывод, уравнение не имеет целых решений.

Далее

и левая часть уравнения при делении на какое-то целое число. Такой путь достаточно быстро приводит к успеху, особенно в тех случаях, когда нужно доказать, что уравнение не имеет решений во множестве целых чисел.
Тут целесообразно также использовать основные свойства теории конгруэнции (сравнения), то есть сравнивать числа по некоторым модулям. Два целых числа a и b называются конгруэнтами по модулю М, если остатки при делении их на число М равны между собой. Легко заметить, что два числа a и b конгруэнтные по модулю М тогда и только тогда, когда их разность делится на М. Записывается это так: a=b(mod M).
Пример. Существуют ли натуральные числа, которые удовлетворяют уравнению x3-x=3y2+1

Далее

и(x+1) делится на 3.
Правая часть – число, которое при делении на 3 дает остаток 1, т.к. 3y2 делится на 3, а 1 является остатком).
Итак, уравнение на имеет решений в целых числах

Далее

является метод параметризации. Основополагающим здесь есть то, что неизвестные x,y,… подаются в виде функций, которые зависят от целочисленных параметров α,β,…,γ: x=A(α,β,…,γ), y=B(α,β,…,γ),…,z=C(α,β,…,γ), где - многочлен с целыми коэффициентами.
Заметим, что метод параметризации не является алгоритмическим.

Далее

вниманию, например, равенство 32+42=52, убеждаемся в том, что уравнение имеет бесконечное множество целых решений вида x=2α, y=4α, z=5α, где α – любое целое число.

Далее

Докажите.

x2+y3=z4
x2-3y2=-1
x3+y4=z5
x2-z2=2002

Примечание: 1,2: метод остатков; 3: метод параметризации; 4: метод от противного

Далее

уравнений»
Цель: повторить и обобщить знания по теме; научиться решать задачи, приводящие к диофантовым уравнениям
Ход урока
Вопросы для проверки теоретических знаний:
Какие уравнения называют диофантовыми?
Какое условие является необходимым для разрешимости неопределенного уравнения ax+by=c? А какое достаточным?
В основу какого метода положен процесс построения бесконечной нисходящей последовательности целых слагаемых чисел?
Перечислите изученные методы решения.

Далее

диофантовых уравнений. Теперь следует научиться применять полученные знания для решения прикладных задач. На этом уроке мы составим математические модели некоторых задач, приводящих к диофантовым уравнениям.

Несколько четырехтонных и 2,5-тонных машин должны перевести 1076 плит. Вес плиты 125 кг. Сколько требуется машин обоих видов, чтобы совершить как можно меньше рейсов?

Далее

– 20 плит (2500:125=20)
Пусть четырех тонных машин было x, а 2,5-тонных плит – y, тогда 4-тонные машины перевезут 32x плит, а 2,5-тонные – 20y плит.
Учитывая, что всех плит было 1076, получим уравнение: 32x+20y=1076.
Причем переменные могут принимать лишь целые, положительные значения
Задание 9. Самостоятельно решите полученное уравнение, используя метод спуска и теорему 3.
Примечание: для перевозки плит выгоднее всего взять как можно больше 4-тонных машин, чтоб было наименьшее количество рейсов.

Далее

второго число, даст четвертую степень третьего числа. Причем все числа, воздимые в степень, имеют два делителя, 1 и само себя.
Решение
Итак, вопрос стоит так: имеет ли решение x2+y3=z4 решения во множестве простых чисел. Пусть x,y,z – простые решения данного уравнения…

Задание 10. Самостоятельно решите полученное уравнение используя метод остатков.

Далее

килограмм персиков стоит 4 гривны. 8 килограмм этих фруктов стоит 23 гривны. Какая максимальная возможность количества килограмм персиков?
Решение
Обозначим через x,y и z количество килограмм яблок, слив и персиков соответственно. По условию задачи:

Выразим из второго уравнения переменную x и решим систему способом подстановки. В этом уравнении разыскиваются натуральные значения переменных или 0
Задание 11. Самостоятельно решите полученное уравнение используя четность чисел

Далее

к диофантовым уравнениям, закреплены изученые методы решения.
Рекомендуется также рассмотреть решения частных случаев диофантовых уравнений (в работе), которые применяется еще несколько специфических приемов решения.

Далее