МБОУ «Лицей № 4» г.о. Королев
Методика решения тригонометрических уравнений
Методика решения тригонометрических уравнений
Проблемы ,возникающие при решении
тригонометрических уравнений
или
Частные случаи
1)cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
2)cost=1
t = 0+2πk‚ kЄZ
3)cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
2.sint = а, где | а |≤ 1
или
Частные случаи
1)sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ
2)sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
3)sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ kЄZ
4. ctgt = а, аЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ
2) cos(x+π/3) = ½
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.
То всякое решение уравнения
Является решением совокупности уравнений
Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции
.Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции,
входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка,
чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений
Уравнения сводимые к квадратным
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда
a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.
Решение.
Введём новую переменную t = sinx. Тогда данное уравнение примет вид 2t2 + t - 1 = 0.
Решим его: D = 1 + 8 = 9,
Cледовательно,
sinx = 1/2 или sinx = -1.
2)Второй степени:
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.
В частности, уравнения вида
приводятся к однородным путем представления правой части в виде:
:
Так как
то существует угол φ такой, что
при этом
Тогда уравнение примет вид
и выбор
будут не всегда равносильны.
Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор
Решите уравнения:
Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.
При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы
с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов
после чего уравнение может быть сведено к рациональному уравнению относительно
с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки
Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку
не определен в точках
поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы
корнями исходного уравнения.
Решите уравнения:
и
, то есть следующие неравенства:
, а функция g(x) ограничена снизу, причем
то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении
Иногда для решения уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения. Также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических уравнений.
На окружности
Решить уравнение.
Обвести дугу, соответствующую данному отрезку на окружности.
Разделить виды решений для синуса и косинуса.
Нанести решения уравнения на окружность.
Выбрать решения, попавшие на обведенную дугу.
На графике
Решить уравнение.
Построить график данной функции, прямую у = а, на оси х отметить данный отрезок.
Найти точки пересечения графиков.
Выбрать решения, принадлежащие данному отрезку.
x
0
y
x
С помощью числовой окружности получим:
Из второй серии:
Следовательно n=0 или n=1, то есть
Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.
Email: Нажмите что бы посмотреть