Презентация, доклад по алгебре Функции, их свойства и графики (9 класс)

и
область значения

График функции

Четность и нечетность функции

Возрастание и убывание функции

х, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует единственное значение зависимой переменной у.

является функцией от переменной х. у = f (х)

и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Область значения функции- все значения зависимой переменной у.

значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

её определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента x верно равенство f (-x) = f (x)

График любой чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = g (x) называется нечётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента x верно равенство g (-x)= - g (x)

График любой нечётной функции симметричен относительно начала координат.

значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Если х2 > х1, то f (х2) > f (х1)

Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Если х2 > х1, то f (х2) < f (х1)

пропорциональность

у = sin х

Квадратичная функция

y = √x

y = cos x

y = ctg x

y = tg x

Окружность

формулой вида y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Область определения – R; Область значения – R
Если k > 0, то 1 и 3 четверть, функция возрастает
Если k < 0, то 2 и 4 четверть, функция убывает

где x – независимая переменная, k – не равное нулю число.

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно отметить какую – либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начала координат прямую.

= 0.

2. Если x ≠ 0, то y > 0.

3. Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y.

Парабола

График функции y = x² называется параболой

= x³.

1. х = 0, то y = 0.

2. Если x > 0, то y > 0;
если x < 0, то y < 0.

3. Противоположным значениям x соответствуют противоположные значения y.

, где
x – независимая переменная; k – неравное нулю число.

Областью определения и область значения функции - множество всех чисел, отличных от нуля.
Если k > 0, то 1 и 3 четверть, функция убывает
Если k < 0, то 2 и 4 четверть, функция возрастает

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.

и её график.

1. Если x = 0, то y = 0.

2. Если x > 0, то y > 0.

3. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Свойства функции:

4. Функция возрастает – 1 четверть.

= ax² + bx + c, где x – независимая переменная; a, b, и c – некоторые числа, a ≠ 0.

Свойства:
а > 0, 1 и 2 четверть – ветви вверх, а < 0, 3 и 4 четверть – ветви вниз,
вершина параболы (m;n)

5. График функции y = af(x) можно получить из графика функции y = f(x) с помощью растяжения вдоль оси Оу в a раз, если a >1, или сжатия в 1/a раз, если 0 < a < 1.

3. у = ах² + n параллельный перенос у = ах² вдоль оси Оу на n единиц вверх, если n > 0; вниз, если n < 0
4. у = а(х – m)² сдвиг графика функции у = ах² вдоль оси Ох на m единиц вправо, если m > 0; влево, если m < 0

(х; у) – координаты точки на окружности (х0; у0) – координаты центра окружности r – радиус окружности

х2 + у2 = r2 уравнение окружности с центром в начале координат (0; 0)

Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

sin x, называется синусом

1. Область определения – R Область значения – [-1;1]
2. Функция нечетная; период 2π
3. Пересечение с осью Ох (πn; 0); с осью Оу (0; 0)
4. у > 0 при х є (2πn; π + 2πn), n є Z
у < 0 при х є (-π + 2πn; 2πn), n є Z
5. Функция возрастает при х є [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], n є Z
Функция возрастает при х є [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n є Z
6. xmin = -π/2 + 2πn ymin = -1 xmax = π/2 + 2πn ymax = 1

Функция четная; период 2π
3. Пересечение с осью Ох (π/2 + πn; 0); с осью Оу (0; 1)
4. у > 0 при х є (- π/2 + 2πn; π/2 + 2πn), n є Z
у < 0 при х є (π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn), n є Z
5. Функция возрастает при х є [-π + 2πn; 2πn], n є Z
функция убывает при х є [2πn; π + 2πn], n є Z
6. xmin = π + 2πn ymin = -1 xmax = 2πn ymax = 1

Функция у = cos x (синусоида)

2πn; π/2 + πn), n є Z
Область значения – R
2. Функция нечетная; период π
3. Пересечение с осью Ох (πn; 0); с осью Оу (0; 0)
4. у > 0 при х є (πn; π/2 + 2πn), n є Z
у < 0 при х є (-π/2 + 2πn; πn), n є Z
5. Функция возрастает при х є (-π/2 + πn; π/2 + πn), n є Z
функция убывает - нет
6. xmin ; ymin ; xmax ; ymax нет

Область значения – R
2. Функция нечетная; период π
3. Пересечение с осью Ох (π/2 + πn; 0); с осью Оу нет
4. у > 0 при х є (πn; π/2 + πn), n є Z
у < 0 при х є (-π/2 + πn; 2πn), n є Z
5. Функция возрастает при х є нет, n є Z
функция убывает при х є (πn; π + πn), n є Z
6. xmin ; ymin ; xmax ; ymax нет