Презентация, доклад по алгебре (9 класс)

учебный год

y=ax2+bx+c.

a>0

Проект по теме «Квадратичная функция»

её формулы; найти способ заинтересовать учеников данной темой.

По дискриминанту и коэффициентам можно определить расположение графика квадратичной функции в координатной плоскости, не строя его.

Тема «Квадратичная функция и её график» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки,  имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь очень многое, что окружает человека так или иначе связано с параболой. 

Актуальность

Цель

Гипотеза

затрудняюсь ответить)
2. Что является графиком квадратичной функции?

3. Как изменяется функция в зависимости от коэффициента а?
 
4. Где применяют квадратичную функцию?
 
5.Почему функцию называют квадратичной?
 
6.Интересна ли вам эта тема? Хотели бы вы узнать больше о квадратичной функции?
(Да, Нет, Затрудняюсь ответить)

Опрос

тем была изучена ими недавно

Большая часть ответила верно, что графиком квадратичной функции является парабола

Большинство не знают об изменении графика в зависимости от коэффициента а

Почему функция называется квадратичной

Интересна ли вам эта тема? Хотели бы знать больше?

Значительное большинство не знают применении квадратичной функции в жизни человека и науках

Чуть больше половины опрашиваемых не знают о том, почему функцию называют квадратичной

Многие хотят узнать больше о квадратичной функции и углубиться в эту тему

разобрались. У учеников лишь поверхностные знания о том, что является графиком квадратичной функции и какими свойствами она обладает. На уроках алгебры хватает времени, только чтобы быстро разобрать данную тему, но многим было бы интересно узнать различные факты об этой функции. Передо мной встала задача: помочь ученикам 9-х классов разобраться в теме и разобрать этот материал перед экзаменом

Собрать в разных энциклопедических, научных, исторических источниках материал о параболах.   
Изучить свойства параболы, зависимость от задающей её функции.
Обнаружить параболы в окружающем нас мире.
Провести личное исследование.
Изучить теорию.
Найти увлекательный способ построения графика квадратичной функции.

и математиком Рене Декартом (1596-1650). Он ввёл идею функции числового аргумента. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения, связывающие два числа. Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришёл другой французский математик – Пьер Ферма (1601-1665). Он был советником тулузского парламента и занимался математическими исследованиями лишь в свободное время. Тем не менее, Ферма получил ряд первоклассных результатов в различных областях математики.
Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Само слово «функция» происходит от латинского functio — исполнение, осуществление. В математике оно впервые употреблено лишь в XVII в. Г. В. Лейбницем
В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени.

В XVIII веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли, который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств»
В 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых»

Во второй половине XIX века помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: «если каждому элементу x множества A поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества B, то говорят, что на множестве задана функция f(x), или что множество A отображено на множество B». В первом случае x- элементы множества A называют значениями аргумента, а элементы y из множества B - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы.

причем a≠0. Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции:

Ограничена снизу, не ограничена сверху;
Ymin =y0, наибольшего не существует;
Функция непрерывна;
Выпукла вниз.

Не ограничена снизу, ограничена сверху;
Наименьшего значения не существует, Уmax=y0;
Функция непрерывна;
Выпукла вверх.

можно судить о том, в какую сторону направлены её ветви (вверх или вниз) и оценить степень её растяжения или сжатия относительно оси ординат.
Если a>0 , то ветви параболы направлены вверх, то есть её вершина расположена снизу.
Если a<0 , то ветви параболы направлены вниз, то есть её вершина расположена сверху.
Если |a|<1, то парабола сжата по оси ординат, то есть кажется более широкой и плоской.
Если |a|>1 , то парабола растянута по оси ординат, то есть кажется более узкой и крутой.

а>0 ,то график функции выглядит так:
a<0, то так:

а>0 ,то график функции выглядит так:
a<0, то так:

а>0 ,то график функции
выглядит так:
a<0, то так:

симметричен относительно оси oy
В зависимости от c график будет подниматься или опускаться

Если b и c больше нуля, то в зависимости от a график (вершина параболы) будет находится в I или III четвертях

a>0
b>0
c>0

a<0
b>0
c>0

a>0
b<0
c<0

Если b и c меньше нуля, а коэффициент a больше, то график (вершина параболы) будет располагаться в VI четверти

Изменение коэффициента b повлечёт за собой сдвиг параболы как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат

Коэффициент с характеризует параллельный перенос параболы относительно оси ординат (то есть вверх или вниз). При увеличении значения этого коэффициента на 1, парабола переместится на 1 вверх. Соответственно, если уменьшить коэффициент c на 1, то и парабола сместится на 1 вниз.

между гра­фи­ка­ми и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов a и c.

ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
1) a > 0, c < 0 2) a < 0, c > 0 3) a > 0, c > 0 4) a < 0, c < 0

Задание 10 № 339113
На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = ax2​ + bx + c. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов a и c.

Коэффициенты
1) a > 0,  c > 0 2) a > 0,  c < 0 3) a < 0,  c > 0 4) a < 0,  c < 0

Задание 10 № 316368
Установите со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их графиками.
 ФУНКЦИИ
А) y=x2-2x Б) y=x2+2x В)y=-x2-2x

Задание 10 № 339184
На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = ax2 + bx + c. Для каж­до­го гра­фи­ка ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щее ему зна­че­ния ко­эф­фи­ци­ен­та a и дис­кри­ми­нан­та D.

Знаки чисел
1) a > 0, D > 0 2) a > 0, D < 0 3) a < 0, D > 0 4) a < 0, D < 0

и кровельных перекрытий
Эйфелева башня
Ворота

Радуга
Кратеры
Траектории струй воды
Цветы

График равноускоренного прямолинейного движения
Потенциальная энергия.
График взлета ракеты
Вращающийся сосуд с жидкостью

В физике

Банан
Челюсть человека
Бокалы
Прогиб каната
Траектория движения какого-либо тела (баскетболист бросает мяч)

В повседневной жизни

коэффициентов её формулы. Наша гипотеза о том, что по дискриминанту и коэффициентам можно определить расположение графика квадратичной функции в координатной плоскости не строя его, подтвердилась. А также мы нашли способ заинтересовать учеников данной темой, построением рисунков с помощью квадратичной функции.

Список литературы

http://www.mosrepetitor.ru/pages1/22/ -Зависимости квадратичной функции
https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратичная_функция - определение квадратичной функции и ее характеристики
http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=531211 – история квадратичной функции
https://www.yaklass.ru/p/algebra/9-klass/chislovye-funktcii-9132 - свойства квадратичной функции
http://www.cleverstudents.ru/functions/range_of_function.html - ООФ и ОЗФ для квадратичной функции
Учебник по алгебре 9 класса глава I.