Презентация, доклад Основные тригонометрические формулы (10 класс)

угла
Знаки синуса, косинуса и тангенса
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Синус, косинус и тангенс углов
Формулы сложения
Синус, косинус и тангенс двойного угла
Синус, косинус и тангенс половинного угла
Формулы приведения
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.

окружности, называется углом в один радиан.
Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как дуга длиной R (полуокружность) стягивает центральный угол в , то дуга длиной R стягивает угол в раз меньший, т.е.


Так как =3,14, то 1 рад=57,3 .
Если угол содержит а радиан, то его градусная мера равна

с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол рад, где -любое действительное число.

x

1. Пусть >0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р(1;0) против часовой стрелки, прошла путь длиной (рис1).Конечную точку пути обозначим М.

2. Пусть <0. в этом случае поворот на угол рад означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длиной (рис 2).

Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте.

Рис 1

В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол % рад.

к его косинусу (обозначается tg )
Таким образом,

Иногда используется котангенс угла (обозначается ctg ), который определяется формулой

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается cos )

Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается sin )

В этих определениях угол может выражаться как в градусах, так и в радианах.

точка (1;0) движется по единичной окружности против часовой стрелки. Для точек, находящихся в первой четверти, ординаты и абсциссы положительны. Поэтому sin >0 и cos >0, если (рис 3,4).
Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы отрицательны. Следовательно, sin >0, cos <0, если (рис 3,4). Аналогично в третьей четверти sin <0, cos <0, а в четвертой четверти sin <0, cos >0 (рис 3,4).

2. Знаки тангенса. По определению
Поэтому tg >0, если sin и cos имеют одинаковые знаки, и tg <0, если sin и cos имеют противоположные знаки (рис5).

- основное тригонометрическое тождество.
Из него можно выразить sin через cos и cos через sin :


В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы.
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По
определению тангенса и котангенса

Перемножая эти равенства, получаем .
Из этого равенства можно выразить tg через ctg и наоборот:

на углы и соответственно (рис 6). Тогда ось 0х делит угол М10М2 пополам, и поэтому точки М1 и М2 симметричны относительно оси 0х.
Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаками. Точка М1 имеет координаты ( ), точка М2 имеет координаты .
Следовательно,

Используя определение тангенса, получаем .


Таким образом,

Синус, косинус и тангенс углов и

равенство

угла, используя формулы сложения.

1.


Итак,

2.


Итак,

Полагая в формуле получаем

и можно найти значения и , если известно, в какой четверти лежит угол .

Из формулы при получаем (1)
Запишем основное тригонометрическое тождество в виде (2)
Складывая равенства (1) и (2) и вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем (3)

(4)
Формулы (3) и (4) можно записать так: (5)
(6)

Разделив равенство (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного угла

от 0 до 90 (или от 0 до ). Это объясняется тем, что их значения для остальных углов сводятся к значениям для острых углов.
Вообще, формулами приведения для синуса называют следующие шесть формул:




Следующие шесть формул называют формулами приведения для косинуса:

находить другие, нам еще неизвестные.
Д.С. Аничков

Математика действительно очень важна в жизни каждого человека. Ведь без нее никуда! А тригонометрические формулы являются ее неизменной частью. Надеюсь, моя презентация, посвященная именно тригонометрическим формулам поможем вам лучше разобраться в трудных моментах.