Презентация, доклад Методы решения тригонометрических уравнений 10 класс

Подготовила: Акаева Х.Д.

переменной и подстановки
Пример.
Решить уравнение 2cos2 (x + п/6) – 3sin(п/3 – x) +1 = 0
Используя формулы приведения получим:
2cos2 (x + п/6) – 3cos(x + п/6) +1 = 0
Заменим cos(x + п/6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:
2y2 – 3y + 1 + 0
Корни которого y1 = 1, y2 = 1/2

y и получаем два варианта ответа:
cos(x + п/6) = 1
x + п/6 = 2 k
x1 = - п/6 + 2 k
cos(x + п/6) =1/2
x + п/6 = ±arccos 1/2 + 2 k
x2 = ± п/3 - п/6+ 2 k

x + cos x = 1 ?
Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:
sin x + cos x – 1 = 0
Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:
sin x - 2 sin2 (x/2) = 0
Делаем разложение на множители:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * [cos(x/2) - sin(x/2)] = 0

решение которого
х/2 =п k
x1 = 2 пk

cos(x/2) - sin(x/2) = 0
Это уравнение является однородным и решается третьим методом, который мы рассмотрим ниже.

- tg(x/2) = 0
tg(x/2) = 1
x/2 = arctg 1 +п k
x/2 = п/4+ пk
x2 = п/2+ 2 пk

все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
а) переносят все его члены в левую часть;
б) выносят все общие множители за скобки;
в) приравнивают все множители и скобки к 0;
г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;
д) решают полученное уравнение относительно tg.

+ 5 cos2x = 2

Решить уравнение 3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos2x = 2
Воспользуемся формулой sin2 x + cos2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:
3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos x = 2sin2x + 2cos2x
sin2x + 4 sin x • cos x + 3 cos2x = 0
Делим на cos x:
tg2x + 4 tg x + 3 = 0

– 5cos x = 7
Переходим к x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos2 (x/2) + 5sin2 (x/2) = 7sin2 (x/2) + 7cos2 (x/2)
Переносим все влево:
2sin2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos2 (x/2) = 0

+3 = 0, корни которого y1=1, y2 = 3
Отсюда находим два решения исходного уравнения:
1) tg x = –1
x1 = п/4+ пk

2) tg x = –3
x2 = arctg 3 +пk

а дальше уже по отработанной схеме …

b cos x = c ,
где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.
Обе части уравнения разделим на :

и cos , а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:
cos * sin x + sin * cos x = С
или sin(x + ) = C

= (-1) k * arcsin С - + пk, где


Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.

коэффициенты:
а = , b = -1, поэтому делим обе части
на = 2
( /2) * sin 3x – (1/2)cos 3x = 1/2

=1/2

sin(3x – п/6) = ½

Получаем ответ

x = (-1) k * п/18 + п/18 + пk/3

уравнение 2 sin x * sin 3x = cos 4x

Левую часть преобразуем в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x

cos 8x = 0
8x = п/2 + k
x = п/16 + пk/8

3sin x – 4cos x = 3

Здесь возможны 2 случая:

получим:

3[(2tg(x/2))/(1 + tg2 (x/2)] - 4[(1 – tg2 (x/2))/(1 + tg2 (x/2)] = 3

6tg(x/2) – 4 + 4tg2 (x/2) = 3 + 3tg2 (x/2)

tg2 (x/2) + 6tg(x/2) – 7 = 0

-7 = 0

корни которого y1 = -7, y2 = 1
Идем обратно и получаем два простейших уравнения:
1) tg(x/2) = -7 2) tg(x/2) = 1

х1 = -2arctg 7 + 2п k x2 = п/2 + 2 k

– 4cos[(2k + 1)п ] = 4 3


Получаем – решение имеет только первое условие.