Презентация, доклад к проекту Квадратные уравнения

«Квадратное уравнение».

.

обобщить сведения о квадратных уравнениях;
2)дать представление о важных вехах истории развития квадратных уравнений;
3) изучить и систематизировать способы решения квадратных уравнений.

корни.
2.2. Из истории квадратных уравнений.
2.3. Методы решения квадратных уравнений.
1) Разложение левой части уравнения на множители.
2) Метод выделения полного квадрата.
3) Решение квадратных уравнений по формуле.
4) Решение квадратных уравнений методом «переброски».
5) Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.
6) Графический способ решения квадратных уравнений.
7) Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
III. Заключение.
IV. Список литературы.

свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
А. Эйнштейн

(1879 – 1955)

задачи, встречающиеся в науке, технике и практической жизни.

Учение об уравнениях есть одна из основных тем всей алгебры
Французский математик Франсуа Виет
был одним из первых, кто числа стал
обозначать буквами, что развило
теорию уравнений.
Теория уравнений не только имеет
теоретическое значение для познания
естественных законов, но и служит
конкретным практическим целям.

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.
В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

«переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение
 
ax² + bx + c = 0, где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получим уравнение
a²x² +аbx +аc = 0.
Пусть ах = у, тогда получим уравнение
у² + bу + ас = 0.
Корни у1 и у2 уравнения найдем по теореме, обратной теореме Виета.
Так как ах1 = у1, ах2 = у2, то
х1 = у1/а, х2 = у2/а.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют методом «переброски».
Этот метод применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
В некоторых случаях он позволяет решить уравнение устно.

коэффициент к свободному члену, в результате получим уравнение
у² - 11у+ 30 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета у1= 5, у2= 6. Тогда
х1 = 2,5, х2 = 3.
Ответ: 2,5; 3.
 
Пример 2. Решим уравнение 3 х ² - (3 + )х + 1 = 0.
Используя метод «переброски», получим уравнение
у² - (3+ )у + 3 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета у1= 3, у2= . .Тогда
х1 = ,х2 =

Ответ: ;

свойства коэффициентов.
Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определенными свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов уравнения и его корнями.
1) х² + 4х – 5 = 0,
а = 1, b = 4, с = - 5,
а + b + с = 0,
х1 = 1, х2 = - 5.
2) 2х² - 5х + 3 = 0,
а = 2, b = -5, с = 3,
а + b + с = 0,
х1 = 1, х2 = 3/2.
3) х² + 6х + 5 = 0,
а = 1, b = 6, с = 5,
а + с = b,
х1 = - 1, х2 = - 5.
4) 3х² + 2х – 1 = 0,
а = 3, b = 2, с = - 1,
х1 = - 1, х2 = 1/3.

ax² + bx + c = 0, где а ≠ 0.
1. Если а + b + с = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то
х1 = 1, х2 = .

2. Если а - b + с = 0 или b = а + с, то
х1 = -1, х2 = -.

Пример 1. Решим уравнение 5х² - 3х - 2 = 0.
Так как а + b + с = 0 (5 – 3 – 2 = 0),то
х1 = 1, х2 = = -

Ответ:1; -
Пример 2. Решим уравнение 12х² + 7х – 5 = 0.
Так как а- b + с = 0 (12 – 7 – 5 = 0), то
х1 = -1, х2 =
Ответ:-1,

на одной координатной плоскости графиков двух функций и нахождении абсцисс их точек пересечения (если такие точки есть).
В случае квадратного уравнения строятся графики квадратичной и линейной функций – парабола и прямая. Возможны следующие случаи:
прямая и парабола касаются (имеют единственную общую точку), абсцисса точки касания – корень уравнения (рис. 1, а);
прямая и парабола пересекаются в двух точках, абсциссы этих точек являются корнями уравнения (рис. 1,б);
прямая и парабола не имеют общих точек, тогда уравнение не имеет корней (рис. 1,в).

уравнение в виде x2 = 3x + 4.
Построим параболу y = x2 и прямую y = 3x + 4.
Прямую y = 3x + 4 можно построить по двум точкам
E (0;4) и G(3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках
А и C с абсциссами x1 = - 1 и x2 = 4.
Ответ: x1 = -1, x2 = 4.
 
 
 
 

уравнение в виде x2 = 2x – 1.
Построим параболу y = x2 и прямую y = 2x – 1.
Прямую y = 2x –1 построим по двум точкам
A (0; -1) и N( ; 0).
Прямая и парабола пересекаются в точке
В с абсциссой х = 1.
Ответ: х = 1.



 Пример 3. Решим уравнение x2 – 2x + 5 = 0.
Запишем уравнение в виде x2 = 2x – 5.
Построим параболу y = x2 и прямую y = 2x – 5.
Прямую y = 2x – 5 построим по двум точкам
A (0;-5)и B (2,5;0).
 
 
 

Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней не имеет.

циркуля и линейки.
Корни квадратного уравнения ах² + bх +с = 0 (а ≠ 0) можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q (- ; ) проходящей через точку А(0;1), и оси Ох.
Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром Q и радиусом QА (для этого и понадобятся инструменты) и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох.
Возможны три случая:
1)если AD > то окружность пересекает ось Ох в двух точках B (х1;0) и C(х2;0) (рис1, а), уравнение имеет корни х1, х2;
2)если EG = то окружность касается оси Ох в точке F (х1;0) (рис1, б), уравнение имеет корень х1;
3) если HK < то окружность не имеет общих точек с осью Ох (рис1, в), у уравнения нет корней.

а) б)
Рис.1

в)

 

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений описанным способом.

Пример 1 . Решите уравнение х2 _ 2х + 1 = 0.

 
Решение:
Определим координаты точки
центра окружности :
х=1,у=1.
Проведем окружность.
Окружность касается оси Ох
в точке B(1;0).

Ответ: 1


 

Пример 2. Решите уравнение х2 - 4х + 5 = 0.

 
Решение показано на рисунке.

Ответ: нет корней.