Презентация, доклад на тему Презентации на тему Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.
Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.
Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.

стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.

Формулы.

В – К2 способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен К1+К2 способами.

Задача 1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?

Решение: К1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28),
К2=4 – кратное 3 (3,15,21,75)
К1+К2 = 5+4 = 9

В – К2 способами, то выбор «А и В» может быть осуществлен К1 х К2 способами.

Задача 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)

б) Сколько среди них чисел, кратных 5?

Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.
На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.
N= 5х1 =5

если обе его цифры одинаковы. N= 5

г) Сколько среди них чисел, кратных 3?

Решение: Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Составим всевозможные пары:
1 – 1 3 – 3 5 – 5 7 – 7 9 – 9
1 – 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9
1 – 5 3 – 7 5 – 9
1 – 7 3 – 9
1 – 9
Таких пар 15. Среди них 5 пар, сумма которых делится на 3, причем три пары допускают перестановку, т.е. могут образовать по два разных числа. Всего 5+3=8 различных двузначных чисел.

на чемпионате по футболу, в котором участвуют
а) 10 команд?
Решение: N=10х9х8=720

б) 11 команд?
Решение: N=11х10х9=990

0, 1,2,3,4, если
а) цифры не повторяются?

Решение: На первом месте одна из 4-х цифр ( 0 не может быть), на 2-ом – одна из оставшихся 4-х:
N=4х4= 16

б) цифры могут повторяться

Решение: На 1-ом месте может быть одна из 4-х цифр, на 2-ом – одна из 5 (0 входит):
N=4х5= 20

флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.
а)Сколько всего стран могут использовать такую символику?

Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4х3х2х1=24

полосой?

Решение: Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех расположенных над ней полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами

г) Сколько стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?

Решение: Если фиксировать цвет белой полосы, то цвета следующих полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами.

чтобы Коля и Оля оказались рядом?

Решение: Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.

способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов.

Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего 4х2х4х3х2х1=192 способами.

По правилу сложения 48+192= 240 способов

цифры 0,1,2,…9.Каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7 и т.п. Хватит ли кодовых замков для всех квартир, если в доме 96 квартир? (код 0-0 не существует)

Решение: Выбор 1-й цифры – 10 вариантов, 2-й –10 вариантов.
Всего 10х10 – 1 = 99 вариантов
Ответ: хватит.

из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной работе Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:
а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы
Решение: Каждая задача может быть выбрана 10 способами. По правилу произведения N=10х10х10х10х10=100000

б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все 5 задач
Решение: N=8х8х8х8х8=32768

в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи
Решение: N=2х2х2х2х2=32

г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.
Решение: N=2х8х8х8х8=8192

первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?
Решение: Составим таблицу вариантов:
Всего существует 2х3 = 6 вариантов

5, 7, 9?
а) цифры не повторяются -
6 вариантов (15,39,57,51,75,93)

б) цифры могут повторяться – 8 вариантов (еще 33,99)

руку. Сколько было рукопожатий, если друзей:
а) трое ; б) четверо ; в) пятеро?
N=3 N=6 N=10

9 если цифры в этих числах могут повторяться?

22 27 29 72 77 79 92 97 99

9

2

7

9

7

7

9

*

2

2

7

9

2

И оно приводит к крайне важному в математике понятию факториала.
Определение: произведение первых подряд идущих n натуральных чисел обозначают n! (читается «эн факториал»)
n! = 1 х 2 х 3 х … х (n-2) x (n-1) x n.
Число перестановок множества из n элементов
Pn = n!

числе сочетаний.