Слайд 1Прогрессии в нашей жизни.
Выполнила:
ученица 9 класса
Щукина Дарья
Руководитель:
Черемисина Т. В
Закончился двадцатый
век.
Куда стремится человек?
Изучен космос и моря,
Строенье звёзд и вся земля,
Но математиков зовет
Известный лозунг
«Прогрессия - движение вперёд.»
Слайд 2Актуальность проекта
В настоящее время актуальным вопросом становится проблема соотношения, изучаемого
в школьном курсе математики, материла с жизнью В курсе алгебры 9класса изучается тема «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Мы даём определение, учимся находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Изучая данную тему, меня заинтересовало, имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие. Передо мной стал вопрос: в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях? Можно ли увидеть прогрессию в природе, экономике других областях человеческой жизни
Слайд 3Проблемный вопрос
Действительно ли прогрессии играют большую роль в нашей жизни?
Слайд 4Гипотеза
Прогрессии имеют определенное практическое значение.
Слайд 5Цель исследования
Установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
Слайд 6Задачи
1 Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием .
2. Выяснить:
-
когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;
- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.
3. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.
Слайд 7Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.
Предмет исследования: практическое применение
этих прогрессий
Основная идея исследования: Показать, как на протяжении многих веков формировалось представление о прогрессиях
Слайд 8План исследования
Изучить историю возникновения прогрессий
Познакомиться
с древнейшей арифметической прогрессией
Прогрессия на клетчатой бумаге
Старинная задача и геометрическая прогрессия.
Применение прогрессий в разных отраслях
Оформить презентацию
Слайд 9История возникновения последовательности
Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания
учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)
Слайд 10 Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV
в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед” и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более
Слайд 11Определение арифметической прогрессии
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со
второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии. Каждая арифметическая прогрессия имеет вид:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке).
Слайд 12Правило нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении
«Книга абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)
Если арифметическая прогрессия содержит n членов, то ее сумму
можно вычислить по формуле или
Слайд 13Определение геометрической прогрессии
Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а
каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Слайд 14 Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала”
(3 век до н.э.).
Для нахождения суммы числа членов
геометрической прогрессии применяют следующую формулу:
Слайд 15Ход исследования
Древнейшая задача: Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так,
чтобы второй получил настолько же больше первого, насколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?
Слайд 16Решение
Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию.
Пусть первый её член x, разность у.
Слайд 17На основании условий задачи составляем систему двух уравнений:
После упрощения получим:
Решив
Слайд 18Значит хлеб должен быть распределен на следующие части:
Слайд 19Прогрессия на клетчатой бумаге.
Формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым
и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Например, прогрессия 2;5; 8; 11; 14… имеет вид:
Слайд 20Прогрессия на клетчатой бумаге.
B
A
C
E
G
Дополним ступенчатую фигуру до прямоугольника. Получим прямоугольник, состоящий
из двух равных фигур, площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма нашей прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т.е.
Hо изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии; - число членов прогрессии. Поэтому двойная сумма или
D
Слайд 21Старинная задача и геометрическая прогрессия.
Слайд 23Применение прогрессий в разных отраслях
Рассуждая об арифметической и геометрической прогрессиях, хочется
лишний раз повторить, что за видимой простатой прогрессии скрывается большой прикладной потенциал. Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу пользуются знаниями арифметической и геометрической прогрессии.
Слайд 24Химия
При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт
по геометрической прогрессии.
Слайд 25Геометрия
Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
Слайд 26физика
Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части.
Получаются 2 нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их ещё на 4части и т.д. - это геометрическая прогрессия
Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.
Слайд 27Биология
Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток
времени их число удваивается.
Слайд 28Экономика
Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые
проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии
Слайд 29Архитектура
Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания
увеличивается на 3 метра.
Слайд 30Деревенские слухи
Даже деревенские слухи можно описать с помощью геометрической прогрессии. Приведем
пример.
В поселке 2 000 жителей. Приезжий рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Новость распространяются с геометрической прогрессией.
Слайд 31Заключение
В ходе работы было установлено, что сами по себе
прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Также я убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни.
Я выяснила, какие ученые внесли свой вклад в развитие теории прогрессий и как теоретические знания применяются на практике в современной жизни.
Слайд 32Сделав анализ задач, я увидела, что прогрессии встречаются при решении задач
в химии, в строительстве, в банковских расчетах, в физике , в биологии , в геометрии и в других жизненных ситуациях.
На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что знания арифметической и геометрической прогрессий помогают человечеству решать многие проблемы. Арифметическая и геометрическая прогрессии не только связаны с красивыми задачами и легендами прошлого, но и позволяют изучать часто встречающиеся на практике процессы.
Таким образом, выдвинутая мною гипотеза подтверждена.
Слайд 33Информационные источники
Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и
др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2012г
Я.И. Перельман «Занимательная алгебра» под редакцией В.Г. Болтянского – Государственное издательство физико-математической литературы, Москва 1958
http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op
http://festival.1september.ru/articles/568100/