Презентация, доклад на тему Доклад по теме Применение информационных технологий при изучении Теории вероятностей и математической статистики

Иркутска лицей ИГУ,
e-mail: LavlinskiMV@mail.ru

Научный консультант:
Кузьмин Олег Викторович,
доктор физико-математических наук, профессор,
руководитель Лаборатории педагогического творчества лицея ИГУ

«Душа науки – это практическое
применение ее открытий»
У. Томсон

Pascal

Выводы

раскрыть статистическую природу практически всех предусмотренных программой понятий и фактов теории вероятностей
Посредством компьютерного моделирования можно многие факты теории вероятностей сделать наглядными
С помощью компьютерных статистических экспериментов можно моделировать описываемые в задачах ситуации и сравнивать получаемые в эксперименте результаты с теоретическими расчетами

Определить результат игры.

Математическая модель:
Исходные данные: x, y – очки, выпавшие у 1-го и 2-го игрока
Выходные данные: результат – кто победил
Связь: х>у ⇒ победил 1-ый; х=у ⇒ ничья; x<у ⇒ победил 2-ой

Компьютерная модель:

=ЕСЛИ(ИЛИ(ЕПУСТО(B2);ЕПУСТО(B4));""; СЛУЧМЕЖДУ(1;6))

=ЕСЛИ(ИЛИ(ЕПУСТО(B2);ЕПУСТО(B4));""; СЛУЧМЕЖДУ(1;6))

=ЕСЛИ(ИЛИ(ЕПУСТО(B2);ЕПУСТО(B4));""; ЕСЛИ(B3>B5;СЦЕПИТЬ(B2;" победил"); ЕСЛИ(B3

которой вам нужно выбрать одну из трех дверей.
За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза.
После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2.
Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Решение 1 (теория вероятностей):
Вы выбрали одну из дверей (Пусть №1)
Рассмотрим множества: множество А - выбранная дверь множество В - оставшиеся двери
Р(А) =  1/3 - автомобиль попал в множество А
Р(В) = 2/3 - автомобиль попал во множество В

Открывают проигрышную дверь (пусть №2)
P(2) = 0
P(3) = 2/3

Всегда выгодно менять первоначальный выбор

⇒

[x] - коробка с призом
Всё сводится к трем вариантам:
(x) [ ] [ ] - человек выбрал коробку с призом
( ) [x] [ ] - человек выбрал коробку без приза
( ) [ ] [x] - человек выбрал коробку без приза
Ведущий уберет пустую коробку, останется соответственно:
(x) [ ]
( ) [x]
( ) [x]

Парадокс Монти Холла
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей.
За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза.
После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2.
Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза.
После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2.
Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Решение 3 (моделирование в Excel):
A. Номер эксперимента (проведём 1000 экспериментов)
B. Генерируем целое число от 1 до 3 (Дверь, за которой автомобиль)
C-E. В этих ячейках «козы» и «автомобили»
F. Выбираем случайную дверь
G. Ведущий выбирает дверь из двух оставшихся
H. Самое главное: он не открывает дверь, за которой автомобиль, открывает другую - с козой!
I. Посчитаем шансы. Пока не будем менять дверь. “1” – выиграли, и “0” – проиграли.
J. Поменяем наш выбор.
K. Посчитаем шансы. "1" – выигрыш, "0" – проигрыш.

Сумма стремится к 333

Сумма стремится к 666

СЧЕТЕСЛИ(A1:A20;"<5")
минимальное значение =МИН(A1:A20)
максимальное значение =МАКС(A1:A20)
сумма элементов =СУММ(A1:A20)
среднее значение =СРЗНАЧ(A1:A20)

Для этих рядов одинаковы МИН, МАКС, СРЗНАЧ

значения.

квадрат отклонения от среднего

средний квадрат отклонения от среднего значения

Стандартная функция
=ДИСПР(A1:A20)

СКВО = среднеквадратическое отклонение

=СТАНДОТКЛОНП(A1:A20)

очков на гранях кубика.

program z1;
const N=50; {Количество испытаний}
var i,r: integer;
F: array[1..6] of integer; {Массив частот}
begin
randomize;
for i:=1 to N do begin
r:=random(6)+1; {Получение очередного исхода}
write(r);
inc(F[r]); {Подсчет частоты}
end;
writeln;
for i:=1 to 6 do
writeln(i:2,F[i]:6,F[i]/N:8:3);
readln;
end.

сдали их в гардероб, а уходя, надели их наугад. Найдите вероятность события В={все надели чужие шляпы} с помощью статистического эксперимента.
Решение:
У опыта 6 возможных исходов
(перестановки из 3-ёх элементов)

Моделирование позволит нам исследовать и общий случай, когда в описанной ситуации участвует N человек.

n = 6
m = 2
⇒
P(B) = 1/3

Ответ: 1/3

сдали их в гардероб, а уходя, надели их наугад. Найдите вероятность события В={все надели чужие шляпы} с помощью статистического эксперимента.
Идея программируемого решения:
Нужно получить три
случайных числа от 1 до 3, причем все они должны быть различны. То есть получить случайную перестановку.

program z2;
const k=3; {Количество человек}
var N,i,F: longint;
j,r,x,Count: integer;
H: array[1..k] of integer;
begin randomize;
{Задаем число испытаний}
write('N='); readln(N);
F:=0;
for i:=1 to N do begin
{Генерация случайной перестановки из k чисел}
for j:=1 to k do H[j]:=j;
for j:=k downto 1 do begin
r:=random(j)+1;
x:=H[j]; H[j]:=H[r]; H[r]:=x;
end;
{Сколько шляп надето на свои головы?}
Count:=0;
for j:=1 to k do
if H[j]=j then inc(Count); {Подсчет частоты}
if Count=0 then inc(F);
end;
writeln(F/N:7:5);
readln;
end.

К чему стремится вероятность события B с увеличением количества людей?

величин.
Систематически изложили в 1949 г., Метрополис и Улам

Для вычисления π используем формулу Sкр = π·R2
Применение метода Монете-Карло:
Рассмотрим круг R=1, с центром в точке (1, 1)
Круг вписан в квадрат, SКВ=2×2=4

Выберем внутри квадрата N случайных точек (зададим их координаты: числа x и y)
Обозначим NКР - число точек, попавших при этом внутрь круга
Точка принадлежит квадрату, если: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2

Точка попадает в круг, если: (x – 1)2 + (y – 1)2 ≤ 1

y, p: real;
begin randomize;
write('n='); readln(n);
for i:=1 to n do begin
x:=2*random; y:=2*random;
if sqr(x-1)+sqr(y-1)<=1 then n1:=n1+1;
end;
p:=4*n1/n;
writeln('pi=',p:15:11);
readln;
end.

мода, медиана) выборки. Исходные данные должны считываться из файла input.txt.
Выходные данные должны записываться в файл output.txt.

input.txt

output.txt

образного и логического мышления обучающегося, привитие навыков моделирования процессов и явлений, использования численного эксперимента, анализа и интерпретации результатов.