Презентация, доклад на тему Вневписанная окружность треугольника

сторон треугольника и продолжения двух других сторон.

точки касания вневписанной окружности с продолжением стороны, содержащей ее, за вершину противолежащей стороны равно полупериметру треугольника.

Доказательство. Обозначим через В₁, С₁, и Та – точки касания вневписанной окружности с прямыми АС, АВ и ВС соответственно. Тогда СВ₁ = СТа, ВС₁ = ВТа и периметр треугольника АВС: P = AC + СТа + ВТа + АВ = АС + СВ₁ + ВС₁ + АВ = АВ₁ + АС₁. Т.к. АВ₁ = АС₁, то расстояния АВ₁ и АС₁ равны полупериметру треугольника АВС.

вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.
Примечание: В треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине. То же соблюдается и для вневписанной окружности. AN = AK = p – a, BM = BK = p – b, CN = CM = p – c.

равенства: ВТс = ВА1 = СТb = CA2 = p-a, ATc = AB2 = CTa = CB1 = p-b, BTa = BC1 = ATb = AC2 = p-c.
Следствие 3: Верны следующие равенства: B2Tb = C2Tc = ATc + ATb = a, C1Tc = A1Ta = BTc + BTa = b, B1Tb = A2Ta = CTb + CTa = c.
Следствие 4: Расстояния между точками касаний вневписанных окружностей продолжений сторон за вершины треугольника равны: C1C2 = a +b, B1B2 = a + c, A1A2 = b + c.

Из следствия 1

Получаются при попарном сложении равенств из следствия 2

Получаются при попарном сложении равенств из следствия 3

стороны ВС треугольника АВС, вычисляется по формуле ra =

Доказательство. Выполняются следующие равенства: SABC = SOCA + SOBA - SOCB = 0,5rab + 0,5rac – 0,5raa = ra(p -a). Аналогично получаются формулы: rb = и rc =

радиуса и наоборот.
Следствие 2: Радиус вневписанной окружности треугольника больше радиуса окружности, вписанной в тот же треугольник.
Следствие 3: Площадь треугольника АВС может быть вычислена по формулам: S = ra(p - a), S = rb(p - b), S = rc(p - c).

равенства: r/ra = , ra/rb = , ra/rc = .
Следствие 5: Используя формулу Герона, получим формулы для вычисления длин радиусов через стороны треугольника: ra = rb = rc =

высоте треугольника, опущенной на основание.

Доказательство. Пусть Oa, Ob и Oc – центры вневписанных окружностей треугольника АВС, Ca, Cb и Tc – точки касания этих окружностей с прямой АВ. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный (АС = ВС), то высота, опущенная из вершины С, лежит на биссектрисе СОс угла С, и поэтому СОс ⊥ АВ. С другой стороны радиус ОсТс ⊥ АВ, следовательно, точка Тс лежит на биссектрисе угла С. Отсюда ОТс ⊥ АВ и СТс является высотой треугольника АВС. Заметим, что СОс ⊥ COb как биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника при вершине С, СОс ⊥ АВ и ObCb ⊥ АВ. Следовательно, четырехугольник TcCObCb – прямоугольник. Значит, rb = ObCb = CTc.

центра вневписанной окружности, касающееся боковой стороны, равно боковой стороне. Доказательство. Т.к. BCb = p = b + 0,5c, то получаем COb = TcCb = p – 0,5c = b.

ra = rb = и rc = 0,5c *

Доказательство. Из доказательства теоремы 3 следует, что CTc ⊥ AB и BTc = ATc = 0,5c. Из прямоугольного треугольника TcCA rb = CTc = Прямоугольные треугольники ОсТсА и ObCbA подобны по двум углам. Тогда = = = . Отсюда = или rc =0,5c * Следствие. Для равностороннего треугольника ra = rb = rc = =3r, где а – сторона треугольника и r – радиус вписанной окружности.

этого треугольника, т.е. rc = p.

Доказательство. Пусть вневписанная окружность с центром в Ос касается продолжений катетов СВ и СА в точках А3 и В3 соответственно. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны прямым СВ и СА. Из теоремы 1 отрезки СА3 = СВ3 = p. Т.к. четырехугольник СВ3ОсА3 – квадрат, то rc = ОсА3 = СА3 = p.

+r = c + r, то получаем еще равенства rc = 2R + r = c + r.

катетов, т.е. c = ra + rb .

Доказательство. Т.к. четырехугольники СТаОаВ1 и СА1ОbTb – квадраты, то CTa = ra, CTb = rb. Из следствия 3 теоремы 1 имеем ra + rb = CT­a + CT­b = c.

r + ra + rb.

в вершине С могут быть найдены через радиусы rc , ra, rb вневписанных окружностей по формулам: а) a = rc – rb и b = rc – ra; б) a = 2rarc / ra + rc и b = 2rbrc/ rb + rc .

Доказательство. а) По следствию 2 теоремы 1 имеем rb = CTb = p – a. Т.к. по теореме 5 rc = p, то получаем a = rc – rb. Вторая формула доказывается аналогично. б) Т.к. центры вневписанных окружностей Oa и Ос лежат на биссектрисе внешнего угла В треугольника АВС, то прямоугольные треугольники ОаТаВ и ОсА3В подобны по двум углам. Тогда из равенства отношения сторон, лежащих против равных углов, ОаТа/ОсА3 = ТаВ/ВА3, получаем ra/rc = a – ra/rc – a. Отсюда a = 2rarc / ra + rc.

Следствие. Из первых двух формул теоремы 7 получаем |a – b| = |ra – rb|.

вычислены по формулам: OaOb = c*
OaOc = b*
ObOc = a*

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник CTaOa в котором CTa = p – b(следствие 2 теоремы 1) и OaTa = ra = (следствие 5 теоремы 2). Используя теорему Пифагора, получаем: СОа = = = . Аналогично из прямоугольного треугольника CTbOb находим COb = Тогда OaOb = COa + COb = + = c* . Другие формулы доказываются аналогично.

Ob вневписанных окружностей соответственно равны: СOa = и COb =
Замечание. Из прямоугольного треугольника СОсА1 можно найти расстояние от вершины С треугольника АВС до центра Ос вневписанной окружности: СОс = =

центра Oa вневписанной окружности, касающейся стороны С, под углом 90 - .

Доказательство. Т.к. BOa и COa – биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах В и С, то СВОа = 90 - и ВСОа = 90 - . Отсюда получаем ВОаС = 180 - СВОа - ВСОа = 180 - (90 - + 90 - ) = 90 -