Слайд 1"Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека"
Слайд 2Почему знания тригонометрии необходимы для современного человека?
Слайд 3Цели исследования:
Связь тригонометрии с реальной жизнью.
Слайд 4Проблемный вопрос
1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной
жизни?
2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине?
3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?
Слайд 5Гипотеза
Большинство физических явлений природы, физиологический процессов, закономерностей в музыке и искусстве
можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.
Слайд 6 Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия)
– микрораздел математики , в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.
Что такое тригонометрия???
Слайд 7 Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась
в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.
Слайд 8История тригонометрии
По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.
Древние люди
вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна.
Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад.
Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом и Птолемеем.
Слайд 9 Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых
впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.
Слайд 11Основоположник аналитической
теории
тригонометрических функций.
Слайд 12В XIX веке продолжил
развитие теории
тригонометрических
функций.
Слайд 13Стадии развития тригонометрии:
Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов.
Первыми
шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Результат - возможность решать плоские треугольники.
Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций.
Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований.
В XVIII в. тригонометрические функции были включены
в систему математического анализа.
Слайд 14Где применяется тригонометрия
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей.
Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.
Слайд 15Тригонометрия в астрономии
Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии;
поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.
Значительных высот достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов.
Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд
синусами, что позволило вводить различные функции, связанные
со сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии
как учению о тригонометрических величинах.
Слайд 16
Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления
затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии.
(ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)
Гиппарх
Слайд 17Достижения Виета в тригонометрии
Полное решение задачи об определении всех элементов
плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон)
Слайд 18Тригонометрия в физике
В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами,
которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений, например:
Механические колебания
Гармонические колебания
Слайд 20Механические колебания
Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки
времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.
Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.
Слайд 21Математический маятник
На рисунке изображены колебания маятника, он движется по кривой, называемой
косинусом.
Слайд 22Траектория пули и проекции векторов на оси X и Y
Из
рисунка видно, что проекции векторов на оси Х и У соответственно равны
υx = υo cos α
υy = υo sin α
Слайд 24Оптические иллюзии
естественные
смешанные
искусственные
Слайд 25Теория радуги
Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом.
Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.
Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:
sin α / sin β = n1 / n2
где n1=1, n2≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.
Слайд 26Северное сияние
Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных
частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.
Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.
Слайд 27Многофункциональная тригонометрия
Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя
угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.
К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.
Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
Слайд 28Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.
Одно из фундаментальных свойств
живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.
Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.
Основной земной ритм – суточный.
Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.
Слайд 29Тригонометрия в биологии
Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью
иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией.
Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?
Слайд 30Связь биоритмов с тригонометрией
Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических
функций.
Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза.
Слайд 31 Движение рыб в воде происходит по закону синуса или
косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.
При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
Тригонометрия в биологии
Слайд 32При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.
Слайд 33Возникновение музыкальной гармонии
Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать
это, были Пифагор и его ученики.
Частоты, соответствующие
одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…
диатоническая гамма 2:3:5
Слайд 34У музыки есть своя геометрия
Тетраэдр из различных типов аккордов четырех звуков:
синий
– малые интервалы;
более теплые тона - более «разряженные» звуки аккорда; красная сфера- наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами.
Слайд 35
С
А
Н
РИС. 1
С
РИС. 2
Н
cos2 С + sin2 С =
1
АС – расстояние от верха статуи до глаз человека,
АН – высота статуи,
sin С - синус угла падения взгляда.
А
Слайд 36Детская школа Гауди в Барселоне
Тригонометрия в архитектуре
Слайд 37Страховая корпорация Swiss Re
в Лондоне
x = λ
y = f(λ)cos θ
z
= f(λ)sin θ
Слайд 38Феликс Кандела
Ресторан в Лос-Манантиалесе
[adcos(t) + ddt , bdsin(t), cdt + edt2]
Слайд 39Заключение
Выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения
углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.
Думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.
Слайд 40Тригонометрия прошла длинный путь развития. И теперь, мы можем с уверенностью
сказать, что тригонометрия не зависит от других наук, а другие науки зависят от тригонометрии.
Заключение
Слайд 41Использованные материалы
Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»
Программа Maple6, реализующий изображение
графиков
«Википедия»
Учеба.ru
Math.ru «библиотека»
История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3 Э. Т. Бэлл Творцы математики.
Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.
Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г. А. В. Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г. Газета Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.