Презентация, доклад на тему Разложение многочлена 3- степени на множители

«Разложение многочлена третьей степени на множители»








Выполнил: Гармажапов Тумэн
ученик 10 класса Белоозерской СОШ
Руководитель: Ишеева Д-Х.Г.
учитель математики


2017г

знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». ( Курант)

Актуальность :

Задачи повышенной трудности, встречающиеся на государственной итоговой аттестации, могут быть успешно проанализированы и решены с помощью теоремы Безу, схемы Горнера.

Объект исследования:
многочлен третьей степени.
Цель:
выделение наиболее простого способа решения уравнений третьей степени.
Задачи:
Расширить кругозор знаний по алгебре;
Научиться делить «уголком» многочлен на двучлен;
Познакомиться с теоремой Безу, схемой Горнера;
Рассмотреть различные способы решения уравнений третьей степени и сделать сравнительный анализ;
Сделать подборку уравнений для применения каждого из рассмотренных способов.
Методы:
• источниковедческий анализ литературы;
• математическая обработка данных;
• решение уравнений третьей степени;

аn, an-1.,, a2 , a1, a0,- коэффициенты, аnxn - старший член многочлена, n - степень многочлена. Рассмотрим один из способов решения уравнения f([х)= 0 - разложение левой части на множители. Существует несколько способов разложения многочлена на множители, которые мы изучаем в школе: 1. Вынесение общего множителя за скобку 2. С помощью формул сокращённого умножения 3. Группировка 4. Специальная формула для разложения квадратного трёхчлена на множители Но для многочлена третьей степени и иногда ни один из этих способов неприменим. Проблемная задача: решить уравнение: х3 - 13х2 – 33х+45=0

математик, член Парижской академии наук.
Основные его работы относятся к исследованию способов решения уравнений высших степеней.
Теорема:
Если число α- корень многочлена Р(х), имеющего степень n , то этот многочлен можно представить в виде Р (δ) = (δ – α ) Q(х) , где Q(х) - частное от деления Р(х) на (х - α ),
Q(х), - многочлен степени n – 1.
Значит, если я разлагаю на множители многочлен третьей степени, то Q(х), - многочлен второй степени, корни которого легко находятся по общим формулам.
Как же получить этот многочлен?
Теорема 1:
Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то число 1 является корнем многочлена. Теорема 2:
Если сумма коэффициентов, стоящих на чётных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на нечётных местах, то число (-1) является корнем многочлена.
Если корень нельзя подобрать с помощью теоремы1 и теоремы 2, то рассмотрим следующую теорему.
Теорема 3:
Если многочлен а3х3+а2 х2 +а2х+а0 целыми коэффициентами имеет рациональные корни,

то они находятся среди чисел вида δ =

где р - делители свободного члена,
q - делители старшего коэффициента.
Данный корень находится подбором.
Но тогда если корень найден, то по теореме Безу остаётся найти Q(х) , который в равенстве
P (δ) = (δ – α) Q(х), является неизвестным множителем.
Рассмотрим основные способы нахождения Q(х).

1.3. Деление многочлена на двучлен уголком
Задача 1
Разделить многочлен х3 - 13х2 – 33х+45 на двучлен х -1.
Запишем данное деление «уголком»

х3 - 13х2 – 33х+45 х - 1
х3 - х2 х2-12х - 45

- 12х2 - 33х
-12х2 +12х

-45х +45
-45х +45

0

разделим старшую степень делимого на старшую степень делителя, получим х2 и т.д.

Задача 2
Разделить многочлен x4 – 7x3 + 18x2 – 22x + 12 на x – 3:

x4 – 7x3 + 18x2 – 22x + 12 x – 3

x4 – 3x3

– 4x3 + 18x2

– 4x3 + 12x2

6x2 – 22x
6x2 – 18x

– 4x + 12

– 4x + 12
0
Проверка: (x3 – 4x2 + 6x – 4) · (x – 3) = x4 – 7x3 + 18x2 – 22x + 12.

x3 – 4x2 + 6x – 4

1.4. Схема Горнера
Горнер Уильям Джордж, английский математик, ввёл очень важный для развития алгебры способ деления многочлена на двучлен, названный схемой Руфини – Горнера.
Схема Горнера - это таблица,
в верхней строке которой записываются коэффициенты многочлена в порядке убывания их степеней,
в левой колонке записываются возможные корни.
Старший коэффициент переписывается в каждой следующей строке.

При этом значения в вычисляются по правилу:
в1 = х1 а0 + а1
в2 = х1в1 + а2
в3 = хв3 + а3

строка вычёркивается и если b3 ≠ 0, то первая проверяется также второе значение.
если b3 = 0, то данное значение х является корнем.

Решим уравнение х3 - 13х2 – 33х + 45 = 0
Если это уравнение имеет целые корни, то они находятся среди
делителей свободного члена, т.е. . ±3, ±5, ±9, ±15, ±45
Составим схему Горнера, по теореме 1 (сумма коэффициентов равна 0, то число 1 является корнем уравнения)
число 1 является корнем, тогда



х =1 - корень

Схема Горнера наиболее практична и экономична.

2. Практическая часть
2.1 Решение уравнений.
Пример 1.
Рассмотрим уравнение х2 - 2х - 9 = 0 , в нём одна из степеней отсутствует, и решим его двумя способами.
1) Деление «уголком»
Делители свободного члена: . ±1, ±3 ±9.
По теореме 1 и теореме 2 корнями ±1 не являются.
Подставляя х = 3, получим верное равенство, значит, х = 3 является корнем.
Разделим данный многочлен на (х – 3), поставив перед х коэффициент = 0.

Х3 – 2х2 +0х - 9 х -3

–

3х - 9

0

х2 + х + 3

Х3- 3х2

–

–

х2 - 3х

х2+0х

3х - 9

Частное от деления х2 + х + 3 приравняем к 0, решим полученное уравнение:
Д = 12 - 4*3 = -11 корней нет. Ответ: х = 3.

2) Схема Горнера
По теореме 1 и теореме 2 х = 1 и -1 корнем уравнения не являются, проверим,
является ли х = 3 корнем уравнения.

Числа, полученные в последней строке, являются коэффициентами квадратного
трёхчлена х2 + х + 3= 0 Д = 12 - 4*3 = -11 корней нет.

Ответ: х = 3.

старшим коэффициентом, отличным от 1.
По теореме 3 среди корней данного уравнения могут быть и дроби, которые подбором считаются сложно.
Сведём данное уравнение к уравнению со старшим коэффициентом = 1.
Для этого умножим все коэффициенты уравнения на 3 .
27 х3 -13*3х -18 =0
и введём новую переменную, обозначив, получим уравнение 3х = а
тогда получим а3 - 13а -18 = 0

Решим его по схеме Горнера

Решим оставшееся квадратное уравнение а2 - 2а - 9 =0

Ответ:

Д = 4 +36 =40, а =

, так как 3х = а находим х =

а =

,

.

Пример 5

Разделить -2x6 + x5 – 4x3 + 3x2 – 7x + 11 на x3 – 4
.
При делении схема сокращённого деления будет такова:

-2 1 0 -4 3 -7 11

-8 4 0 -48
4 -2 1 0 -12 7 -7 -37

Следовательно, частным от деления будет многочлен -2x3 + x2 – 12,

а остатком – многочлен 7x2 – 7x – 37

-2x6 + x5 – 4x3 + 3x2 – 7x + 11= (-2x3 + x2 – 12) (x3 – 4) + 7x2 – 7x – 37.

2.2. Сборник уравнений

[ 2, стр 56 ] Решить уравнение : х3 - 9 х2 +26х - 24 =0

2. . [ 2, стр 58 ] Решить уравнение : х3 -2 х2 -13 х-10 =0

3. [ 2, стр 62 ] Решить уравнение : х3 - 6х2 -31 х+36=0

4. [ 2, стр 68] Решить уравнение : х3 - 3х2 -10 х+24=0


5. [ 4, стр 150] Сократить :

7. [ 4, стр 152] Применить схему Горнера найти частное от деления многочлена
Р(х) = 2х3 +3х2 -2х-3 на двучлен х +2

в теоретической части работы

мною представлен материал, который сможет помочь каждому учащемуся разобраться

в способах разложения многочлена третьей степени на множители.

Работа имеет практическое применение.

При подборке заданий я встречался с уравнениями высших степеней, то есть степеней

больших чем 3.
Данные способы разложения можно применять и для таких многочленов.

Исчерпать все типы таких заданий просто невозможно.

Зато возможно набраться опыта в решении.

Материал я постарался изложить так, чтобы получилось методическое пособие для учителя

и ученика с теорией, разбором конкретных заданий и подборкой заданий по данной теме.

Выполняя олимпиадную работу я применял данные способы разложения на множители

при решении уравнений.

Считаю, что гипотеза, выдвинутая мною, подтверждена, цель работы достигнута

уравнений.
С его именем связана (1819) схема Горнера деления многочлена на двучлен .

наук

Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768).

Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.)
Автор шеститомного«Курса математики» (1764-1769),неоднократно переиздававшегося.