Презентация, доклад на тему Презинтация по математику на тему Двойной интеграл (студентов ВУЗа)

отдельных блоков схемы вычисления ДИ
Задания по теме

1/13

(с=const) так, чтобы они пересекали область σ. Область σ⊆R2 называется вертикально-правильной, если каждая вертикальная прямая х=с (с=const) пересекает границу области σ не более, чем в двух точках Р1(х,у1) и Р2(х,у2).
 Вертикально-правильную область σ можно задать системой неравенств
σ: (1)

где [a,b] — проекция области σ на ось ОХ. Двойной интеграл по вертикально-правильной области σ, заданной системой неравенств (1), вычисляется с помощью повторного интеграла:

у=с (с=const) пересекает границу области σ не более, чем в двух точках Р1(х1,у) и Р2(х2,у).
[c; d] - проекция σ на ОУ.
Область σ можно задать системой неравенств
σ: (2)

Двойной интеграл по горизонтально-правильной области σ, заданной системой неравенств (2), вычисляется с помощью повторного интеграла

 

x и y имеют в некоторой области D* плоскости 0uv непрерывные частные производные и не равный нулю определитель:

а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:

определитель Якоби (якобиан)

Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y).

2/13

линиями:
xy = 1; xy = 2; y = x; y = 3x.

D

Сделаем замену переменных:

3/13

производные от получившихся функций:

Замена переменных в двойном интеграле

5/13

в двойном интеграле

7/13

координат x и y полярными координатами r и φ.

В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами:

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции.

Якобиан преобразования равен:

8/13

полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат

Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат:

Лучами

D*

Кривыми

Такая область называется правильной областью в полярной системе координат:

луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках.

9/13

интеграл в полярных координатах

D*

10/13

; область D есть круг, кольцо или части таковых.

На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены

Двойной интеграл в полярных координатах

Уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам.

Преобразование области D в область D* не выполняют, а совмещают декартовы и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ.

3

11/13

в декартовой системе координат.

3

D

12/13

3

Двойной интеграл в полярных координатах

3

0

0

2π

13/13

Решение
Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную х как параметр (т.е. const):



2. Вычислим внешний интеграл

нем переменную у как параметр (т.е. const):



2. Вычислим внешний интеграл

Вычисление можно записывать короче:

; .

2. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:

, где область D - треугольник, ограниченный прямыми х=0; у=0; х+у=3.
Ответ: 9.
4. Вычислить двойной интеграл , если область D задана неравенствами ; у≥х; 0≤х≤2.
Ответ: .

5. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями
a) ; y=0; y= ; б) ; y=0; y=x; x+y=π/2;

в) ; x=y2; y=x2.
 
Ответы: a5 ; 1/2; -1/504.