Презентация, доклад Сравнение по модулю

применять знания в решении практических
заданий.
 
Задачи:
1. Изучить краткий исторический обзор возникновения теории;
2. Дать определение сравнения по модулю;
3. Изучить свойства сравнения по модулю;
4. Рассмотреть операции со сравнениями;
5. Применить знания для решения практических заданий. 

Методы: 
1. Теоретический анализ и обобщение научной литературы; 
2. Математический расчет;

Ферма > Лейбниц >
Эйлер > Гаусс >

Теория сравнения по
модулю – модульная
арифметика

достижения определенной стоимости
модуль.

a-b ⋮ m => a ≡ b (mod m)
Число   может быть представлено в виде 
a=b+km, где
k — некоторое целое число.

7), т.к.
1. 32-(-10)=42:7
2. 32=-10+6*7

b ≡ a  (mod m)
транзитивность: если a ≡ b (mod m) и 
b ≡c (mod m), то a ≡ c (mod m)

a ≡ b (mod 1)
если числа a и b  сравнимы по модулю m, и d является делителем m, то a и b сравнимы по модулю d: a ≡ b (mod m), m ⋮ d => a ≡ b (mod d )

можно почисленно складывать: a ≡ b (mod m) и  c ≡ d (mod m), то a + c ≡ b + d (mod m)
2. Два сравнения по одному и тому же модулю можно почисленно вычитать:
a ≡ b (mod m) и  c ≡ d (mod m), то
a - c ≡ b - d (mod m) 
3. Два сравнения по одному и тому же модулю можно почисленно умножать:
a ≡ b (mod m) и  c ≡ d (mod m), то ac ≡ bd (mod m)

одну и ту же натуральную степень: a ≡ b (mod m), то an ≡ b n (mod m)
4.Если произведение натуральных чисел сравнимо с нулем по модулю, который является взаимно простым с одним из множителей, то другой множитель сравним с нулем по данному модулю.
ab ≡ 0 (mod m), и числа a и m взаимно просты, то b ≡ 0 (mod m)
5.К любой части сравнения можно прибавить или вычесть из нее число, кратное модулю: a ≡ b (mod m) km ≡ 0 (mod m)
a+km ≡ b (mod m)
a-km ≡ b (mod m)

делимости чисел.
Любой из них можно вывести при помощи сравнений по модулю, например, признак
делимости на 9:
Дано:
x=xn…x2x1 =x1+x2*101+x3*102+…+xn*10n-1 - произвольное число, где x1…xn - цифры числа x в десятичной записи. x1+x2*101+x3*102+…+xn*10n-1⋮9
Вывести:
x1+ x2+…+ xn⋮9
Вывод:
Так как
x1+x2*101+x3*102+…+xn*10n-1⋮9 =>
x1+x2*101+x3*102+…+xn*10n-1≡0(mod 9).
Так как
10≡1(mod 9), (10-1⋮ 9), то
102≡1(mod 9), (так как обе части сравнения можно возводить в одну и ту же натуральную степень) =>
10k≡1(mod 9), где k∈N =>
x1+x2*101+x3*102+…+xn*10n-1 ≡ x1+ x2+…+ xn (mod 9)
По свойству транзитивности
x1+ x2+…+ xn≡0(mod 9), значит,
x1+ x2+…+ xn⋮9

уравнение с несколькими
неизвестными вида а1х1+…+аnхn=с, где (известные) коэффициенты а1, аn и с
целые числа, а неизвестные х1 ,…, хn также являются целыми числами.

Пример: Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?

на 3, на 4, на 5, на 6, то оно делится на их НОК, равное 60. Значит, х имеет вид 60у + 1. Поэтому для ответа на вопрос задачи надо решить в натуральных числах уравнение 60у + 1 = 7z. 
Выразим z: z=(60y+1):7
Значит, 60y+1⋮7
То есть, 60y≡-1(mod 7), (60y-(-1) ⋮7 – определение сравнения)
Т.к. 56y кратно 7, вычтем из левой части сравнения, 4y≡-1(mod 7), (умножим на 2 левую и правую части сравнения), 8y≡-2(mod 7), (вычтем из левой части сравнения 7y), y≡-2(mod 7) => y-(-2)⋮7 (по определению) y+2=7t, где t∈Z
Значит, y=7t-2
Наименьшее положительное решение получаем при t = 1, тогда y=5, x=60*5+1 x=301
Ответ: крестьянка несла на базар 301 яйцо.

Найти остаток от деления 11210 на 5.
Решение: Нам надо указать число от 0 до 4, которое сравнимо с 11210 по модулю 5. Известно, что 112≡2(mod 5), (112=5*22+2) Мы можем возводить в одну и ту же степень левую и правую части. Тогда имеем: 11210≡210(mod 5), где 210=(25)2=322 Знаем, 32≡2(mod 5), (32=5*6+2) Возведем в квадрат обе части: 322≡22(mod 5) По свойству транзитивности: 11210≡4(mod 5) Ответ: 4.
Краткая запись: 112≡2(mod 5) => 11210≡5210 ≡5(25)2 ≡5322 ≡522≡4 (mod 5)

день недели для 9 мая 1945 г.
Решение.  
Мы имеем календарь за 2016 г. и, согласно ему, 9 мая 2016 г. падает на понедельник.
Теперь посчитаем полное число дней, отделяющих эту дату от нас интересующей.
Между ними — ровно 71 год, включая 18 високосных (1948,1952,…,2016).
Полное число дней, разделяющих эти даты — 71*365+18
Число надо «намотать на неделю». Начать отсчет с понедельника и отсчитать от него «в обратном
направлении» (т.е. в прошлое) упомянутое количество дней. Если перевести на язык чисел, то можно
формализовать задачу так: 
1= понедельник, 2= вторник,…, 0= воскресенье; и нас интересует число
1-(71*365+18) (mod 7)
Для вычисления его можно делать любые упрощения из тех, что можно извлечь из приведенных выше
результатов:
71≡1 (mod 7), 365≡1 (mod 7), 18≡4 (mod 7)
Следовательно,
1-(71*365+18)≡71-(1*1+4)=-4≡3 (mod 7)
Ответ. Среда.

крупный математик не
прошёл мимо теории сравнения по модулю. Диофант,
Ферма и Лейбниц, Эйлер и Гаусс оставили
неизгладимый след в этой интереснейшей теории.