- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Содержание
- 1. Презентация Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
- 2. Немного историиЦенность научного творчества безгранична. Для общего
- 3. Он занимался высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциальной
- 4. Матрицей размеров m x n называется система
- 5. Обозначения:
- 6. Виды матриц Нулевая матрица 0 =
- 7. Матрица, противоположная матрице А -А = Трапециевидная (ступенчатая) матрица
- 8. Матрица-строка: Матрица-столбец: Верхняя треугольная матрица:
- 9. Нижняя треугольная матрица Диагональная матрица
- 10. Единичная матрица
- 11. Действия над матрицами Суммой матриц А =
- 12. Свойства сложения матриц:A +B = B +
- 13. Пример 1: Найти сумму матриц: С =
- 14. Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В,
- 15. А =
- 16. Произведением матрицы А = (aij) на число
- 17. Свойства умножения матрицы на число: 1) 2)
- 18. Произведением матрицы А = (
- 19. Даны матрицы: А =
- 20. Транспонирование матриц.А= Ат = – транспонированная матрица.
- 21. Свойства транспонирования1.2.3.4.
- 22. Обратная матрица.Матрица
- 23. Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А.Свойства обратной матрицы:1.2.3.
- 24. Ранг матрицыРанг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров.Обозначение: rank A
- 25. Занятие 3.ОпределителиМинорыАлгебраические дополнения
- 26. ОпределителиОбозначение:
- 27. Определителем третьего порядка называется выражение
- 28. Способы вычисления определителя третьего порядка = где
- 29. Минором Мij какого – либо
- 30. Второй способ. Определитель III порядка можно найти
- 31. Третий способ.
- 32. Алгебраическое дополнениеАлгебраическим дополнением элемента аij определителя
- 33. Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой
- 34. Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов
- 35. Пример 5: Найти определитель:
- 36. Определителем четвёртого порядка
- 37. Занятие 5.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМГАУССА.
- 38. Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных.Пусть задана система:
- 39. 1. Составим расширенную
- 40. Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:
- 41. Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.
- 42. Получаем:Вернёмся к системе уравнений Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2
- 43. Метод Гаусса применим к любой системе линейных
- 44. Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
- 45. Получаем: Мы видим, что последнее уравнение будет 0
- 46. Пример 8. Решить систему: Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
- 47. Получаем:Вернёмся к системе уравнений.
- 48. В итоге имеем:
- 49. Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из
- 50. Решение: Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа неизвестных (3
- 51. Вернёмся к системе уравнений: Как мы видим,
- 52. Занятие 7Решение систем линейных уравненийметодом Крамера
- 53. Пусть дана система: Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных
- 54. Найдём определитель det A=Правило Крамера. Если
- 55. Решение системы линейных уравнений :Находим определитель системы
- 56. Пример 1. Решить систему: Решение:
- 57. Пример 2. Решить систему: Решение:
- 58. Находим: х1,
- 59. Применяем формулы Крамера:х1=1; х2=2; х3=-2
- 60. Занятие 9РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
- 61. Дана система:Матричная запись системы линейных уравнений имеет
- 62. Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы
- 63. Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.
- 64. Составляем обратную матрицу:Отсюда:
Немного историиЦенность научного творчества безгранична. Для общего прогресса человечества наиболее ценным является творчество, устанавливающее новые пути, по которым идут исследователи. К числу учёных новаторов принадлежит гениальный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Основная черта научных работ Гаусса
Слайд 2Немного истории
Ценность научного творчества безгранична. Для общего прогресса человечества наиболее ценным
является творчество, устанавливающее новые пути, по которым идут исследователи.
К числу учёных новаторов принадлежит гениальный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Основная черта научных работ Гаусса – это их исключительная разносторонность. Гаусс также считался одним из создателей неэвклидовой геометрии.
К числу учёных новаторов принадлежит гениальный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Основная черта научных работ Гаусса – это их исключительная разносторонность. Гаусс также считался одним из создателей неэвклидовой геометрии.
Слайд 3 Он занимался высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциальной геометрией, теорией вероятности, теорией
электричества и магнетизма, вопросами капиллярности, геодезией и астрономией. Во всех этих областях Гаусс сделал оригинальные открытия.
Габриель Крамер – швейцарский математик. Установив и опубликовав в 1705 году правило решения систем линейных уравнений с буквенными коэффициентами, он внёс значительный вклад в развитие алгебры.
Габриель Крамер – швейцарский математик. Установив и опубликовав в 1705 году правило решения систем линейных уравнений с буквенными коэффициентами, он внёс значительный вклад в развитие алгебры.
Слайд 4
Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов
матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Слайд 10 Единичная матрица
Е =
Если все действительные, то матрица А
называется действительной; если хотя бы
одно из чисел комплексное, то матрица
называется комплексной.
Слайд 11Действия над матрицами
Суммой матриц А = ( )
и В = ( ) одинаковых размеров называется матрица С = ( ) тех размеров, у которой = + , для любых i, j.
C = A + B
C = A + B
Слайд 12Свойства сложения матриц:
A +B = B + A
(A +B) +C =
A + (B + C)
A + 0 = A
A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.
A + 0 = A
A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.
Слайд 14Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А
прибавить матрицу, противоположную матрице В.
А – В = А + (-В)
Найти разность матриц А – В
А = В =
Решение: С = А – В
Слайд 16Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица С
= (cij) тех же размеров, у которой cij = k · aij для любых i,j. C = k · A
Пример 3: Дана матрица
А =
Тогда 2А =
Слайд 17Свойства умножения матрицы на число:
1)
2)
3)
4)
для любых
А,В одинаковых размеров, любых α, β
R
Слайд 18Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на
матрицу В = ( ) размеров nхp называется матрица С = (cij) размеров mхp,
= a i1 b 1j + a i2 b 2 j + … + a in b n j .
C = AB
Свойства умножения матриц:
AE = EA = A
A0 = 0A = 0
(AB)D = A(BD)
(A + B)D = AD + BD
D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл). Для квадратных матриц АВ≠ВА
Слайд 24Ранг матрицы
Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров.
Обозначение:
rank A
Слайд 26Определители
Обозначение:
(детерминант).
Они существуют у квадратных матриц.
Они существуют у квадратных матриц.
Определение 1. Определителем второго порядка
называется выражение
Слайд 28Способы вычисления определителя третьего порядка
=
где
- элементы определителя,
- миноры элементов а1, b1, c1
Слайд 29 Минором Мij какого – либо элемента aij определителя порядка
n называется определитель порядка n – 1, полученный из вычерчиванием i– й строки и j – го столбца. Это первый способ.
Слайд 32Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется определитель
, где Мy – минор элемента aij.
Для нахождения определителя III порядка можно использовать две теоремы.
Для нахождения определителя III порядка можно использовать две теоремы.
Слайд 33Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки на
их алгебраические дополнения
Слайд 34Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо столбца
на их алгебраические допол-нения.
Слайд 36Определителем четвёртого порядка
называется
выражение где A1, B1, C1, D1 - алгебраические дополнения элементов a1, b1, c1, d1.
выражение где A1, B1, C1, D1 - алгебраические дополнения элементов a1, b1, c1, d1.
Слайд 39
1. Составим расширенную матрицу.
2. С
помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к треугольному (ступенчатому) виду.
3. Вернувшись к системе уравнений, находим неизвестные.
Элементарными преобразованиями матрицы называют:
Умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число.
Прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой её строки (столбца), умножение на любое число, отличное от нуля.
Перестановку местами любых двух строк.
3. Вернувшись к системе уравнений, находим неизвестные.
Элементарными преобразованиями матрицы называют:
Умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число.
Прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой её строки (столбца), умножение на любое число, отличное от нуля.
Перестановку местами любых двух строк.
Слайд 41Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью
элементарных преобразований.
Слайд 43 Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система
будет несовместной, т.е. не иметь решения, если после преобразований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля.
Пример 7. Решить систему:
Слайд 45Получаем:
Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная
система
будет несовместной, т.е. не иметь решения. Совместная система будет неопределённой, (то есть иметь решений больше, чем одно), если после преоб-разований матрица приводится к трапе-циевидному виду.
будет несовместной, т.е. не иметь решения. Совместная система будет неопределённой, (то есть иметь решений больше, чем одно), если после преоб-разований матрица приводится к трапе-циевидному виду.
Слайд 49 Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных уравнений, то
есть уравнений, свободные члены которых равны нулю. Такая система всегда совместна, так как обладает нулевым решением (0; 0; …; 0). Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями. Таких решений будет бесконечно много.
Пример 9. решить систему:
Слайд 50Решение:
Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа неизвестных
(3<4), поэтому данная система будет неопределённой.
Составим матрицу из коэффициентов (так как свободные члены равны нулю) и преобразуем её.
Составим матрицу из коэффициентов (так как свободные члены равны нулю) и преобразуем её.
Слайд 51Вернёмся к системе уравнений:
Как мы видим, с помощью метода Гаусса
можно решить любую систему, содержащую любое число линейных уравнений с любым числом неизвестных. Это один из самых эффективных методов решения систем линейных уравнений.
Слайд 54Найдём определитель
det A=
Правило Крамера. Если m=n и det
A≠0, то система совместна и имеет единственное решение
где det Ai – определитель, полученный из det A заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.
Слайд 55Решение системы линейных уравнений :
Находим определитель системы .
Вычисляем
определители х1, x2, …
Возможны три случая:
Если ≠0, то система имеет
единственное решение:
Если =0, но хотя бы один из определителей хi не равен нулю, то система не имеет решений.
Если =0, х1=0, х2=0, …, хn=0, то система имеет бесконечное множество решений.
Возможны три случая:
Если ≠0, то система имеет
единственное решение:
Если =0, но хотя бы один из определителей хi не равен нулю, то система не имеет решений.
Если =0, х1=0, х2=0, …, хn=0, то система имеет бесконечное множество решений.
Слайд 61Дана система:
Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В
Отсюда: Х= , где матрица, обратная матрице А.
Слайд 62Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений:
Решение:
Находим определитель
Если
= 0, то система не имела бы решения.
