Презентация, доклад по высшей математике Кольца и Поля (магистратура)

сложение и умножение, и в R выполняются следующие аксиомы:

1. Множество R является аддитивной абелевой группой.
2. Для любых двух элементов a и b из R определено их произведение: (замкнутость операции умножения).
3. Для любых трех элементов a , b и c из R выполняется ассоциативный закон, т.е. и .
4. Для любых трех элементов a, b и c из R выполняется дистрибутивный закон, т.е. справедливы равенства: и .

кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.

2. Легко убедиться, что полная система вычетов по модулю p также образует коммутативное кольцо с единицей относительно операций сложения и умножения по модулю p.

Примеры:

– рациональных чисел Q;
– вещественных чисел R;
– комплексных чисел C;
– O, состоящее из одного числа 0;
– nZ, состоящее из целых чисел, кратных некоторому числу n (в этом кольце нет единицы);
– комплексных чисел вида m + ni, где m,n ∈Z (кольцо целых гауссовских чисел );
– вещественных чисел вида m + n√2, где m,n ∈Z;
– вещественных функций с общей областью определения;
– многочленов от одного или нескольких неизвестных с коэффициентами из некоторого коммутативного кольца;
– квадратных матриц порядка n с элементами из некоторого коммутативного кольца (так как при n > 1 матрицы, как правило, неперестановочны, то это кольцо некоммутативно).

определены по формулам:
(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d), (a,b)(c,d) = (ac,bd).
Определение. Обратным элементом для данного элемента a любого кольца с единицей называется такой элемент aˉ¹ ͘͘͘который удовлетворяет условию aaˉ¹= aˉ¹a = 1.
Ясно, что в кольце Z обратимы (т. е. обладают обратным элементом) только 1 и −1, а, например, в кольце Q обратимы уже все ненулевые числа.
Теорема 1. Если в кольце один из сомножителей равен нулю, то и все произведение равно нулю.
Доказательство. Действительно, a·0 + a·0 = a·(0 + 0) = a·0, откуда немедленно следует, что a·0 = 0 (аналогично 0·a = 0).
Замечание. Обратное утверждение, верное для колец вещественных или комплексных чисел, не сохраняется для любых колец. В кольце из примера 2, приведенного выше, (a,0)(0,b) = (0,0) при любых целых a и b.

или ba = 0, и при этом a= 0 b= 0, называются делителями нуля.
Теорема 2. Если ab = ac или ba = ca, то b = c, если только a= 0 и не является делителем нуля.
Определение. Подмножество B кольца A называется подкольцом, если оно само является кольцом при тех же операциях сложения и умножения, которые определены в кольце A.
Теорема 3. Для того чтобы подмножество B = ∅ кольца A было его под-кольцом , необходимо и достаточно, чтобы разность и произведение любых двух элементов из B снова принадлежали B.

элемент имеет мультипликативный обратный элемент (т.е. обратный по умножению).

Отметим некоторые свойства полей, вытекающие из их определения.
1. Для любого элемента поля .
2. Для ненулевых элементов a и b поля .
3. Для любых элементов a и b поля .
4. Если и , то .

чисел, поле рациональных чисел, но не может быть поля целых чисел, поскольку обратные элементы по умножению, кроме единицы, не являлись бы целыми.

2. При имеем простейшее двоичное поле, состоящее из двух элементов 0 и 1. Эти элементы являются соответственно единичными элементами относительно операций сложения и умножения по модулю 2, которые определяются правилами: ; ; ; ;
. Так как , то операции сложения и вычитания в двоичном поле совпадают, а так как , также совпадают операции умножения и деления. Это поле находит широкое применение в теории и технике помехоустойчивого кодирования.

a + bi, где a,b ∈Q (поле гауссовских чисел);
– вещественных чисел вида a + b√2, где a,b ∈Q;
– вещественных чисел вида a + b 3 √2 + c 3 √4, где a,b,c ∈Q;
– всех алгебраических дробей (дробно-рациональных функций) от одного или нескольких неизвестных с коэффициентами из некоторого коммутативного кольца без делителей нуля;
– из двух элементов, которые мы обозначим 0 и 1, при следующем определении операций:
0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0·0 = 0·1 = 1·0 = 0, 1·1 = 1.
Теорема 1. Поле не имеет делителей нуля.
Доказательство. Пусть ab = 0 и a = 0. Тогда 0 = aˉ¹ab = 1·b, откуда следует , что b = 0. Кольцо целых чисел является примером кольца без делителей нуля, не являющегося полем.

элементов.

Конечное поле обычно обозначается Fq или GF(q), где q - число элементов поля (мощность).
С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его мощностью, которая всегда является степенью какого-либо простого числа ( , где q - простое число, являющееся характеристикой поля).

Кольцо вычетов по модулю простого числа р
Свойства конечного поля:
1. Характеристика конечного поля является простым числом, и число элементов конечного поля есть его характеристика в натуральной степени:


2. Конечное поле не может быть упорядоченным, так как упорядоченное поле содержит бесконечно много элементов.
R3: Мультипликативная группа конечного поля является циклической группой порядка .
R4: Поле содержит в себе в качестве подполя тогда и только тогда, когда k является делителем n .