Презентация, доклад по теме Метод математической индукции

Содержание

Утверждения Общие ЧастныеВсе граждане России Петров имеет право наимеют право на образование.

Слайд 1Метод математической индукции

Метод математической индукции

Слайд 2Утверждения


Общие

Частные

Все граждане России Петров имеет право на
имеют право на образование. образование.
Во всяком параллелограмме В параллелограмме ABCD
диагонали в точке пересечения диагонали в точке пересечения
делятся пополам. делятся пополам.
Все числа, оканчивающиеся 140 делится на 5.
нулём, делятся на 5.
Утверждения    Общие           ЧастныеВсе граждане

Слайд 3Дедукция – переход от общих утверждений к частным.
Пример.
Все граждане России имеют

право на образование.
Петров – гражданин России.
Петров имеет право на образование.
Дедукция –  переход от общих утверждений к частным.Пример.Все граждане России имеют право на образование.Петров – гражданин

Слайд 4Индукция – переход от частных утверждений к общим.
Пример.
140 делится на 5.
Все

числа, оканчивающиеся нулём, делятся на 5.

140 делится на 5.
Все трёхзначные числа делятся на 5.
Индукция –  переход от частных утверждений к общим.Пример.140 делится на 5.Все числа, оканчивающиеся нулём, делятся на

Слайд 5,
Знаменитый математик XVII в. П.Ферма проверив, что числа
простые, сделал по

индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида


простые.
, Знаменитый математик XVII в. П.Ферма проверив, что числапростые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,…

Слайд 6В XVIII веке Л.Эйлер нашел, что при n=5
составное число.

В XVIII веке Л.Эйлер нашел, что при n=5 составное число.

Слайд 7Индукция
Полная

Неполная
Требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел.
Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:
4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.
Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Индукция   Полная

Слайд 8Задача.
Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда.

1,3,5,7,9,11,13…

Чему равна сумма n

первых членов этой последовательности?
Задача.Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда. 1,3,5,7,9,11,13…Чему равна сумма n первых членов этой последовательности?

Слайд 9Решение:
Рассмотрим частные случаи:
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25 …
Общий вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=n2.
Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще?
Решение:Рассмотрим частные случаи: 1=11+3=41+3+5=91+3+5+7=161+3+5+7+9=25    …Общий вывод:   1+3+5+…+(2n-1)=n2.    Как же

Слайд 10Принцип математической индукции
Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

Оно

справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл.

Из справедливости утверждения для какого либо произвольного натурально n=k следует его справедливость для n=k+1.
Принцип математической индукции Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:Оно справедливо для n=1 или для наименьшего

Слайд 11Алгоритм доказательства методом математической индукции
Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных

чисел при котором гипотеза имеет смысл (базис индукции).

Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1 (индукционный шаг).

Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n.
Алгоритм доказательства методом математической индукцииПроверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел при котором гипотеза имеет смысл

Слайд 12
Суть доказательства
методом математической индукции:

базис проверить верность утверждения при n= 1


индукционный шаг
- допустить, что утверждение верно при n= k
- доказать, что утверждение верно при n= k+1

Докажите, что 1+3+5+…+(2n-1)=n2.
Суть доказательства методом математической индукции:базис проверить верность утверждения при n= 1

Слайд 13Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n2.
Доказательство:
Имеем n=1=12. Следовательно, утверждение верно при n=1.
Пусть k-любое натуральное

число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е. 1+3+5+…+(2k-1)=k2.
Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2.
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2.
Итак, утверждение 1+3+5+…+(2n-1)=n2 истинно для любого натурального n.
Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n2.Доказательство:Имеем n=1=12. Следовательно, утверждение верно при n=1.Пусть k-любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для

Слайд 14Задача
Доказать, что



при n≥2.

Задача Доказать, что при n≥2.

Слайд 15Доказательство:
1. Проверим верность утверждения при n=2.

Следовательно, утверждение верно

при n=2.
2. Пусть утверждение справедливо для n=k>2, т.е.

Докажем истинность утверждения для n=k+1, т.е. что





Итак, утверждение истинно для любого натурального n≥2.



Доказательство:1. Проверим верность утверждения при n=2.   Следовательно, утверждение верно при n=2.2. Пусть утверждение справедливо для

Слайд 16Задача
Доказать, что для любого натурального числа n истинно утверждение

Задача Доказать, что для любого натурального числа n истинно утверждение

Слайд 17Задача
Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна

Задача Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна

Слайд 18
Метод математической индукции
позволяет в поисках общего закона испытывать возникающие при

этом гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.
Метод математической индукции позволяет в поисках общего закона испытывать возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать

Слайд 19 «Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием

логической зрелости, которая совершенно необходима математику».

А.Н. Колмогоров
«Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику».

Слайд 20Домашнее задание
1. Доказать, что сумма квадратов чисел натурального ряда от 1

до n, равна



2. Докажите, что при любом натуральном n верно утверждение





Домашнее задание 1. Доказать, что сумма квадратов чисел натурального ряда от 1 до n, равна2. Докажите, что

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть