Сумму конечного числа n первых членов ряда называют
n - ой частичной суммой ряда.
U1+ U2 + U3 + … Un + …
Числовые ряды
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад по теме Числовые ряды
Содержание
- 1. Презентация по теме Числовые ряды
- 2. Сходимость рядаРяд называется сходящимся если его n
- 3. Эталонные рядыПримерРассмотрим ряд геометрической прогрессии:n - ая частичная сумма ряда:Рассмотрим отдельные случаи:1- ряд сходится2- ряд расходится
- 4. Эталонные рядыСледовательно, ряд геометрической прогрессиисходится при 3- предел не существует, ряд расходится4- ряд расходится
- 5. Основные теоремы о сходящихся рядах12На сходимость ряда
- 6. Необходимый признак сходимости рядаТеоремаЕсли ряд сходится то
- 7. Необходимый признак сходимости рядаВычтем из (1) - (2) почленно, получим: Следствие
- 8. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиПусть
- 9. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиИсследовать на сходимость ряд:Примерряд сходится
- 10. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиПусть
- 11. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиИсследовать на сходимость ряд:Примерряд сходится
- 12. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиПусть
- 13. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиИсследовать
- 14. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами-
- 15. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиПусть даны два ряда с положительными членами:Для этих рядов справедливо:
- 16. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами-
- 17. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиИсследовать
- 18. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиПредельный
- 19. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиИсследовать
- 20. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиРяды
- 21. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членамиИсследовать
Сходимость рядаРяд называется сходящимся если его n - я частичная сумма Sn , при неограниченном возрастании n , стремится к конечному пределу, т.е. если существует конечный предел.Если
Слайд 1
Основные понятия
Бесконечным числовым рядом называется выражение:
Пусть задана бесконечная числовая последовательность:
U1,
U2, U3 … Un .…, где Un= f(n).
Слайд 2
Сходимость ряда
Ряд называется сходящимся если его n - я частичная сумма
Sn , при неограниченном возрастании n , стремится к конечному пределу, т.е. если существует конечный предел.
Если
или не существует, то ряд называется расходящимся и суммы не имеет.
Слайд 3Эталонные ряды
Пример
Рассмотрим ряд геометрической прогрессии:
n - ая частичная сумма ряда:
Рассмотрим отдельные
случаи:
1
- ряд сходится
2
- ряд расходится
Слайд 4
Эталонные ряды
Следовательно, ряд геометрической прогрессии
сходится при
3
- предел не существует, ряд
расходится
4
- ряд расходится
Слайд 5Основные теоремы о сходящихся рядах
1
2
На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного
числа его членов, т.е. если сходится ряд получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится сам данный ряд.
3
Слайд 6Необходимый признак сходимости ряда
Теорема
Если ряд сходится то его n - й
член стремится к нулю, при n стремящимся к бесконечности.
Доказательство
Рассмотрим ряд
По условию ряд сходящийся:
(1)
Запишем ряд в виде:
Sn-1
Sn
(2)
Слайд 8
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Пусть дан ряд с положительными
членами:
Допустим существует предел:
ряд сходится
ряд расходится
?
Слайд 9Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Исследовать на сходимость ряд:
Пример
ряд сходится
Слайд 10
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Пусть дан ряд с положительными
членами:
Допустим существует предел:
ряд сходится
ряд расходится
?
Слайд 11Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Исследовать на сходимость ряд:
Пример
ряд сходится
Слайд 12Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Пусть дан ряд с положительными
членами
, причем
Пусть также f(x) - непрерывная монотонно убывающая функция, такая что f(n) = Un.
Тогда данный ряд и интеграл
одновременно сходятся и расходятся.
Слайд 13Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Исследовать на сходимость ряд:
Пример
Эта функция
монотонно убывает и непрерывна. Следовательно условие интегрального признака соблюдены.
Такой ряд называется обобщенный гармонический ряд
Слайд 14Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- ряд расходится
Рассмотрим случай, когда
-
при k > 1 – ряд сходится
- при k < 1 – ряд расходится
При k = 1:
Слайд 15Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Пусть даны два ряда с
положительными членами:
Для этих рядов справедливо:
Слайд 16Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- исследуемый ряд
- ряд,
который выбирается для сравнения и про который должно быть известно, сходится он или расходится.
Ряды, которые обычно выбираются для сравнения:
1
Ряд геометрической прогрессии:
сходится при
2
Обобщенный гармонический ряд
сходится при
Слайд 17Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Исследовать на сходимость ряд:
Пример
Выберем для
сравнения ряд:
Ряд сходится, так как это геометрическая прогрессия со знаменателем
Неравенство выполняется для всех членов рядя, начиная с третьего, значит ряд Un также сходится по признаку сравнения.
Слайд 18Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Предельный признак сравнения
Пусть даны два
ряда с положительными членами:
Для этих рядов справедливо:
Ряды Un и Vn одновременно сходятся и расходятся.
Слайд 19Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Исследовать на сходимость ряд:
Пример
Выберем для
сравнения ряд:
Ряд Vn - обобщенный гармонический ряд вида
расходится, так как k = 1.
ряд Un – также расходится.
Слайд 20Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Ряды вида
Вопрос о сходимости
рядов такого вида, где Pm (n) – многочлен степени m, Ql (n) – многочлен степени l, полностью исчерпывается сравнением с рядом
где k = l – m.
Удобнее при этом использовать признак сравнения в предельной форме.
Слайд 21Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Исследовать на сходимость ряд:
Пример
Выберем для
сравнения ряд:
Ряд Vn - обобщенный гармонический ряд вида
сходится, так как k = 2 >1.
ряд Un – также сходится.
