Презентация, доклад по математике Системы счисления

понять, насколько она удивительна.
П.С. Лаплас

проблеме исследования;
2) Познакомиться с различными исторически сложившимися способами записи чисел
3) Рассмотреть позиционные и непозиционные системы счисления
4) Научиться записывать числа в различных позиционных системах счисления, переводить числа из одной системы счисления в другую;
5) Выполнять арифметические действия в различных позиционных системах, определять в каких системах счисления выполнены арифметические действия, если не известно основание системы.

набора специальных знаков ( цифр)

Непозиционные системы
( смысл каждого символа не зависит от места, на котором стоит)

Позиционные системы
(смысл каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции)

Римская система счисления
x x x

A=anpn +an-1pn-1 +…+ a1p1+a0p0

а- цифра ( символ)
Р- основание системы
n-номер старшего разряда

Десятичная система счисления
( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

счисления
(0,1)

Восьмеричная система
счисления
( 0,1,2,3,4,5,6,7)

Правило №1
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную нужно
воспользоваться выражением A=anpn +an-1pn-1 +…+ a1p1+a0p0
Сначала в десятичную систему счисления переводится основание той системы,
из которой осуществляется перевод , а затем цифры исходного числа.
Результаты подставляются в данное выражение. Полученная сумма дает
искомый результат.

1) 1, 10, 100, 101, 1100.

102=1 21 + 0 20 = 2 ; 1002= 1 22 + 0 21 + 0 20= 4
1012= 1 22 + 0 21 + 1 2 0= 5; 11002=1 23 + 1 22 +0 21+ 0 20=12

2) 4032005= 4 55+ 0 54 +3 53 + 2 52 + 0 51 + 0 50= 12 925
3) С 716 = 12 161 + 7 16 0 = 192 + 7 = 199

Правило № 2
Чтобы перевести целое число из десятичной системы счисления в систему
с основанием р
Нужно:
Последовательно делить заданное число и получаемые целые части
на новое основание счисления до тех пор , пока целая часть не станет
меньше нового основания счисления.
2) Полученные остатки от деления , представленные цифрами нового счисления,
записать в виде числа, начиная с последней целой части.

2008 : 2 = 1004 ( ост. 0) 2008: 5 = 401 ( ост 3)
1004 :2 = 502( ост 0) 401 : 5 = 80 ( ост 1)
502 : 2 = 251 ( ост 0) 80 : 5 = 16 ( ост 0)
251 :2 = 125 ( ост 1) 16 : 5 = 3 ( ост 1)
125 : 2 = 62 ( ост 1) 3: 5 = 0 ( ост 3)
62 : 2 = 31 ( ост 0)
31 : 2 = 15 ( ост 1)
15 : 2 = 7 ( ост 1)
7 :2 = 3 ( ост 1)
3 : 2 = 1 ( ост 1)
1: 2 = 0 ( ост 1)
2008= 111110110002 2008= 310135

Правило № 3
Для, того чтобы перевести число ,записанное в восьмеричной системе в
двоичную , необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить
триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются
.

12345678= 011 010 011 100 101 110 111 2

Правило №4
Для, того чтобы перевести число, записанное в двоичной системе в
восьмеричную, нужно каждую триаду двоичных цифр заменить
восьмеричной цифрой. Для правильного перевода число должно быть
выровнено, т.е. число двоичных знаков должно быть кратно 3 .выравнивание
производится простым дописыванием требуемого количества нулей
перед старшим разрядом целой части

111110110002= 011 111 011 0002= 37308
3 7 3 0

Правило №5
При переводах чисел между двоичными и шестнадцатеричными системами
счисления используются четверки чисел- тетрады. При необходимости
Выравнивание выполняется до длины двоичного числа , кратной четырем.



111110110002= 0111 1101 10002= 7D816
7 D 8

Правило №6
При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную
и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.

12345678= 011 010 011 100 101 110 111 2 =
0101 0011 1001 0111 0111 2= 5397716
5 3 9 7 7

Задача
Один учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32
девочки. Какой системой счисления он пользовался? Сколько у него учеников
в десятичной системе?

Решение:
Пусть х – основание системы, тогда

100 = 1 Х2 + 0 Х1 + 0 Х0= Х2
24= 2 Х1 + 4 Х0= 2Х +4
32= 3 Х1 + 2 Х0 =3Х+2
2Х +4 +3Х+2 = Х2
Х2 -5 Х -6 =0
Х1=-1, Х2 = 6
-1 не является основанием системы, значит основание системы счисления равно 6.
В десятичной системе:
Всего 36 учеников:
16 мальчиков, 20 девочек.

сложения выполняется поразрядно, начиная с младших
разрядов в слагаемых;
2. В каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие
цифры и переносятся из предыдущего разряда суммы.
3. Если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше
основания системы счисления, то перенос в следующий разряд равен нулю,
если равна или больше – то равен единице.
4. При вычитании, если нужно «занять» у следующего разряда, то занятая
единица в данном случае равна основанию системы счисления.

10110012 2)1221213
+10001112 + 2120123
101000002 11112103

4)110112
- 4762 8 × 1101 2
163038 11011
00000
11011
11011
1010111112

5) 1213 6) 3225
× 123 × 145
1012 2343
121 322
22223 111135

1011001
10001
1011
1100
1011
1011
1011
0

Записать дробь 4/27 в виде троичной дроби
113 11,0003 10003
10003 1000 0,011
1000
1000
0

23451
+ 1* 6 42 + 15642
424 23 42423


Пример записан в семеричной системе счисления.
Существует ли система счисления , в которой одновременно выполнялись равенства а) 3+4 = 10 б) 2+3=5
3 4 = 15 2 3 =11

Установить , в какой системе счисления выполняется каждое из следующих равенств:
23 14 71 55 : 4 = 13
+ 14 × 2 - 36
42 30 33

=100