Презентация, доклад по математике Предел числовой последовательности

порядковый номер.

чисел;
 
2,  4,  6,  8,  10, … - ряд чётных чисел;
 
1.4,  1.41,  1.414,  1.4142, … - числовая последовательность приближённых  значений. 

указания формул (часто когда нет закономерности между элементами последовательности).

Способы задания
числовой последовательности

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .
Пример 2. Произвольный набор чисел:
1,4,12,25,26,33,39,… .
Пример 3. Последовательность четных чисел: 2,4,6,8,10,12,14,16,… .

можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2n.
Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел: у = n².
Пример 3. Стационарная последовательность: у = С
С, С, С, С,…,С,…
Пример 4. Последовательность у = n² - 3n
– 2, -2,0,4,10,…
Пример 5. Последовательность у = 2ⁿ
2, 2²,2³,…,2ⁿ,…

известен ее предыдущий элемент.

144, 233, 377, 610…

Числа Фибоначчи

Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Леонардо Фибоначчи - итальянский математик.
(родился около 1170 — умер после 1228)

Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

сечение в природе Подсолнух

Числа Фибоначчи и золотое сечение в природе Алое многолистного

сечение в природе. Капуста Броколи

Числа Фибоначчи и золотое сечение в природе. Шишка

и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.

3 лепестка; Пpимула имеет 5 лепестков; Амбpозия полыннолистная имеет 13 лепестков; Hивяник обыкновенный имеет 34 лепестка;

нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. 

И в растительном и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

что такое скрипка. Изготовление хорошей скрипки – большое искусство. В этом искусстве выдающихся успехов достигли Антонио Страдивари, Амати, Гварнери, и по сей день звучание их инструментов является образцом, превзойти который не удалось еще никому. Можно предположить, что такое звучание происходит благодаря закону золотого сечения, которое лежит в построение скрипке Антонио Страдивари.

посвященный изложению и пропаганде десятичной арифметики. Книга вышла в 1202 г., второе переработанное издание — 1228 г. До наших дней дошло только второе издание. 

Другие достижения Фибоначчи в математике

и содержит разнообразные теоремы с доказательствами, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке 

Трактат «Цветок» (Flos)
(Flos, 1225 год), в нем Фибоначчи исследовал кубическое уравнение  , предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры»

решение неопределённых квадратных уравнений. Фибоначчи работал над поиском чисел, которые, будучи добавленными к квадратному числу, вновь дадут квадратное число. 

больше предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.

предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

некоторого числа.

Последовательность (уn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности.

Например: -1, -4, -9, -16,…, - n² ,…

Верхняя граница - -1

некоторого числа.

Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≥ m. Число m называют нижней границей последовательности.

Например: 1, 4, 9, 16,…,n²,…

Нижняя граница - 1

последовательностью.

Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.

(уn) сходится.

У последовательности (уn) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (уn) расходится.

пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
( теорема Вейерштрасса).

некоторому числу а при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел.
Это понятие имеет более строгое определение.

Число а называется пределом числовой последовательности {Un}: если для любого ε > 0 найдется такое число N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│< ε при n > N

последовательность уn = q n
расходится