Презентация, доклад по математике на тему Занимательные задачи в арифметике Л.Ф. Магницкого

5. 6 классах)

кружка, при подготовке к олимпиаде по математике, к игре «Кенгуру» нам часто приходилось решать старинные задачи или задачи со старинным содержанием. В «Арифметике» Л.Ф.Магницкого много таких задач.

Все задачи можно разделить на 6 разделов:
1. Житейские истории.
2.Путешествия.
3.Денежные расчеты.
4.Угадывания предметов.
5.Любопытные свойства чисел.
6.Старинный способ решения задач на смешение веществ.
Задач много. Их можно решать разными способами: и арифметическим и алгебраическим. В самой «Арифметике» приводятся очень оригинальные решения.
Многие задачи в современных книгах на смекалку по содержанию похожи на те, которые есть у Магницкого.
Надеюсь, что эта работа поможет учителю в работе с младшими ребятами.

Введение

вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена выпивает такой же бочонок кваса.
Решение 1.
За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит, за 140 дней жена выпьет 14-10=4 бочонка кваса, а тогда один бочонок она выпьет за 140:4-35 дней.
Ответ: за 35 дней.
Решение 2.
Человек за 1день выпивает 1/14 часть бочонка. Пусть его жена выпьет этот бочонок за х дней. Тогда за 1день она выпьет 1/х часть бочонка. Зная, что за 10 дней они вместе выпивают бочонок, составим уравнение:
10(1/14 + 1/х) = 1
10(х + 14) = 1
14х
10х + 140 = 14х
4х = 140
х = 35
Ответ: 35 дней.

выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.
Решение.
Поскольку за 8 часов 6 человек выпивают бочонок кваса, то за 1 час такой же бочонок кваса выпьют 48 человек, а тогда за 3 часа этот бочонок кваса выпьют 16 человек.
Ответ: 16 человек.
Задачи из современных книг на смекалку.
1.3 землекопа за 2 часа вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 часов?
2.Мать убирает квартиру за 2 часа, а дочь – за 4 часа. За сколько часов они обе могут убрать эту квартиру?

от себя. Заяц пробегает за
2 минуты 500 саженей, а собака - за 5 минут 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца?
Решение 1.
За 1 минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за 1 минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Собака догонит зайца через 150:10=15 минут
Ответ: через 15 минут.
Решение 2.
Заяц: за 2 мин – 500 саженей, значит за 1мин – 250 саженей.
Собака: за 5 мин – 1300 саженей, значит за 1 мин – 260 саженей.
Пусть собака догонит зайца за х мин.тогда за это время заяц пробежит 250х саженей. Зная, что между ними 150 саженей, составим уравнение:
260х – 250х = 150
10х = 150
х = 15
Ответ: через 15 минут.

Эта задача в современной формулировке:
Между лисой и зайцем 10 метров. Когда лиса поймает зайца, если она бежит со скоростью 8 м/с, а он – со скоростью 7 м/с?

что если к нему добавить его третью часть и от полученной суммы отнять ее шестую часть, то будет 100.
Такие задачи есть в наших учебниках алгебры в теме «Решение задач с помощью уравнений». Много подобных задач мы решаем на кружке. Мы предлагаем решить задачу и алгебраическим и арифметическим способом.
Решение.
По правилу, которое носило название «фальшивое», или « гадательное», эту задачу следует решать так:
1. Предположим, что неизвестное число есть 144. Проделав с ним описанные в задаче операции, получим
1/3 * 144 = 48, 144 + 48 = 192,
1/6 * 192 = 32, 192 – 32 = 160.
Так как получилось не 100, то не угадали.
2 Предположим теперь, что неизвестное число есть108. Имеем последовательно:
1/3 * 108 = 36, 108 + 36 = 144,
1/6 * 144 = 24, 144 – 24 = 120.
Опять не угадали.

Это делается следующим образом. Вычисляем, насколько мы ошиблись:
В первом случае Во втором случае
160 -100 = 60 120 – 100 = 20.
Затем рисуем таблицу:
144 60

108 20

* 20 = 2880.
Разность произведений (6480 – 2880 = 3600) разделим на разность ошибок (60 – 20 = 40) :
3600 : 40 = 90.
Полученное число и дает ответ к задаче, т. е. искомое число равно 90.
Правилен ли этот ответ?
Числа 144 и 108 мы взяли наугад, но оба раза результат вычислений оказался больше,
чем 100.
Правило гласит, что так же нужно поступать и в случае, если оба результата окажутся меньше данного числа. Если же один из результатов окажется меньше данного числа, а другой больше, то искомое число можно найти, разделив сумму произведений на сумму разностей.
Решение1.
Ответ найден верно. 1/3 * 90 = 30 90 + 30 = 120, 120 * 1/6 =20, 120 – 20 = 100.
Решение2.
Пусть х – искомое число. Тогда
(х + 1/3х) – 1/6(х + 1/3х) = 100
х + 1/3х – 1/6х – 1/18х = 100
18х + 6х – 3х – х = 100
18
20х = 1800
х = 90
Проверка: (90 + 30) – 20 = 100 (верно!)

классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько учеников в классе?
Решение с помощью «фальшивого» правила.
Предположим, что в классе было 24 ученика. Если еще придет столько же учеников и затем полстолько, затем четверть столько и еще один ученик, то всего получится
24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67 учеников. Не угадали.
Если предположить. Что в классе 32 ученика, то, проделав такие же выкладки, получим
32 + 32 +16 + 8 + 1 = 89 учеников. Опять не угадали.
Действуя согласно «фальшивому» правилу, находим
24 33 100 – 67 = 33, 100 – 89 = 11,
24 * 11 = 264, 33 * 32 = 1056.
32 11 1056 – 264 = 792, 33 – 11 = 22.
Следовательно, в классе было 792 : 22 = 36 учеников.
Правилен ли этот ответ?

Решение1.
Ответ найден верно.
36 + 36 + 1/2 * 36 + 1/4* 36 + 1 = 100.
Эта задача встречается в старинных рукописях в различных формулировках: как задача
«о стаде гусей», «о матросах на корабле», «о продаже гусей» и т.д.
Приведем примеры еще 3 задач, которые тоже можно решить с помощью «фальшивого» правила, но эти же самые задачи можно решить и алгебраически.
Решение2.
Пусть х человек в классе. Тогда
х + х + х/2 + х/4 + 1 = 100
8х + 2х + х = 99
4
11х = 396
х = 36
Ответ: 36человек.

– ю аршин больше перед другим, а другого 9 – ю дольше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было. (Из старинной книги «Арифметика» Л. Ф. Магницкого)
Ответ: 1) 46 1/3 аршина; 2)34 1/3 аршина; 3) 25 1/3 аршина.
2.Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: «Аще придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и ¾, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег» (Магницкий)
Ответ: 38 14/47 р.

выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (Магницкий)
Ответ: за 35 дней.
4.Один путник идет от града в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой от дому во град тот же путь творяше, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдутся. (Магницкий)
Ответ: 9 7/37 дня.

влияние на те учебники арифметики XVIII столетия, которые в свое время пришли ей на смену, и справедливо можно сказать, что она послужила “связующим звеном между русской математической литературой XVIII столетия.

Таким образом, мы видим, что задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого не устарели и сейчас. Они имеют большое практическое значение, т. к. взяты из жизни и связаны с конкретными жизненными ситуациями.

Такое впечатление, что эти задачи придуманы только сейчас, а не 300 лет назад. Мы привыкли к этим задачам, постоянно их решаем, хотя раньше не знали, что они из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.

Данные задачи помогают развивать мышление, вызывают интерес к математике, учат приспосабливаться к жизни.
.

Магницкий. 1967 г.
3.Б.В.гнеденко. Очерки по истории математики. 2007 г.
4.А.П.Юшкевич. История математики в России до 1917 года. 1968 г.
5. Д.Д. Галанин. Леонтий Филиппович Магницкий и его Арифметика. Выпуск 1. 1914 г.
6. Энциклопедический словарь юного математика./ Сост.А.П. Савин. М «Педагогика», 1985 г.
7. Е.И.Игнатьев. В царстве смекалки. М. АО «Столетие», 1994 г.
8.С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов. Старинные занимательные задачи. М. «Наука», 1988 г.
9.А.В.Спивак. Тысяча и одна задача по математике. М.»Просвещение».
2005 г