Презентация, доклад по математике на тему Задачи на четность (5-7 классы)

на четность и нечетность

видов, то их четное число (и каждого вида поровну).
Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов:
начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов;
начало и конец одного вида, то нечетное число.
Обратно:
По четности длины чередующейся цепочки можно узнать, одного или разных видов её начало и конец.

55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

условию всего арбузов – 55, а это нечетное число. Значит, разложить нельзя.

Н

Ч

Ч

Н

±1

… …

Н

1-я к.

2-я к.

3-я к.

4-я к.

16-я к.

15-я к.

Ч

±1

±1

±1

h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

63 хода.
1-й ход: белое поле
2-й ход: черное поле
3-й ход: белое поле
4-й ход: черное поле
… … … … … … … …
63-й ход: белое поле
Так как конь должен сделать 63 хода, то последним (нечетным) ходом он встанет на белое поле, а поле h8 черное.
Ответ: нет, не может.

пары, то их количество четно.

города выходило ровно 3 дороги. Сколько дорог получилось?

город А с другими городами.
Всего получилось 3 дороги: АВ, АС и AD.
Также проведем дороги из городов В, С и D.
Всего получим 12 дорог.
Сгруппируем одинаковые дороги:

А

D

С

В

Значит, дорог только 6.

разбить на пары.

города выходило ровно 7 дорог?

Н = Н
Н  Н = Ч

Ч * Ч = Ч
Ч * Н = Ч
Н * Н = Н

Свойства:

ценой в 9, 5 или 7 рублей стоить в сумме 71 рубль?

сложил эти же числа и получил 100. Докажите, что кто-то из них ошибся.

(2-й случай):

2, 3, ..., 99. Затем карточки перемешиваются, раскладываются чистыми сторонами вверх и на чистых сторонах снова пишутся числа 1, 2, 3, 4, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Доказать, что в результате получится чётное число.

Задача 1

чётных.
На обратной стороне мы получим
столько же чисел четных и нечетных.

1

99

…

3

5

7

1

99

…

2

3

4

2

98

…

4

6

8

разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан. 
  а) В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? 
  б) Можете ли вы определить, какой это будет плод? 
  в) Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?

ровно один плод? 

осталось?

Решение:
Всего 15 бананов.
Сорвем 2 банана, останется 13. Еще 2 банана сорвем, останется 11 бананов. Каждый раз число бананов будет нечетным.
В итоге останется 1 банан.

Или:

Всего 15 бананов.
Сорвем 1 банан и 1 апельсин, вырастет 1 банан, т. е. число бананов не изменится.

Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

сумма этих чисел.
Поэтому, при указанной замене чётность суммы всех чисел не меняется. Сумма целых чисел от 1 до 1985 нечётна (среди них нечётное количество нечётных чисел). Поэтому она не может стать равной нулю.
Ответ:
Не может.

что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – мальчики.

на три кучки; кому какая достанется - определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты.
    а) Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 90 конфет (ни больше, ни меньше).
    б) Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 65 конфет?

кучка из 90 конфет, то медвежатам достанется поровну конфет, и они не будут жаловаться.

Если ей достанется кучка из 5 конфет, то, для того чтобы уравнять доли медвежат, ей придётся съесть ещё 85 конфет.
Ответ
а) 5, 5 и 90. 

а) Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 90 конфет (ни больше, ни меньше).

5 конфет

90 конфет

100 конфет

5 конфет

65 конфет?

?
конфет

65 конфет

100 конфет

? конфет

5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами. Двое играющих берут по очереди по одному ореху. Игра заканчивается, когда на столе останется три ореха. Если это – три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе – его соперник. Кто из игроков может выиграть, как бы не играл соперник?

первого. Тогда первый всегда сможет сделать ход, не нарушая описанных правил. Заметим, что после первого хода первого на доске нет единиц. После хода второго может появиться не более одной новой единицы, которую первый заберёт. В частности, так будет и в конце игры, то есть первый выиграет.
Ответ
Первый.

"ГОРОДСКАЯ УСТНАЯ ОЛИМПИАДА". Они договорились сыграть в следующую игру: за один ход в этой надписи разрешается стереть произвольное количество одинаковых букв, а выигрывает тот, кто стирает последнюю букву. Первым ходил Коля и стёр последнюю букву "А". Как надо играть Алисе, чтобы обеспечить себе выигрыш?

буква встречается в надписи. После хода Коли:
буквы "А" и "О" имеют кратность 3,
буквы "Д", "И", "С" и "Я" – кратность 2, а
буквы "Г", "К", "Л", "М", "Н", "П", "Р", "Т" и "У" – кратность 1.
Чтобы выиграть Алисе, надо:
стереть любую букву кратности 1;
играть так, чтобы после каждого её хода количество букв каждой кратности было чётным.

Например, если Коля сотрёт одну букву "Д", то Алиса может стереть также одну букву "И". Тогда на каждый ход Коли у Алисы будет ответный ход, поэтому именно она сделает последний ход и выиграет.

ААА СС ДД К Р Г У Т Н Л М П ЯЯ ИИ ООО

ГОРОДСКАЯ УСТНАЯ ОЛИМПИАДА

1-й ход Коли

Выигрыш, если стереть последнюю букву

любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?

из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.  При каких n такое возможно?

на каждого рыцаря найдется 3 врага.

Если у рыцаря есть 1 друг, значит у них по три общих врага. Каждый их враг враждует с двумя ними и еще с одним врагом.

Если у рыцаря есть 2 друга, то у них по три общих врага. Каждый их враг враждует с тремя ними.

Заметим, что у рыцаря не может быть более двух друзей, иначе найдутся четыре рыцаря, у которых есть общий враг, но тогда у этого врага будет не менее четырёх врагов, что противоречит условию.

врага, следовательно, всего рыцарей – не более шести. 

Рассмотрим еще раз случай, когда у рыцаря 1 друг. У рыцаря и его друга по три общих врага.
Значит, 1-й враг враждует :
с рыцарем;
с его другом;
со 2-м врагом.
2-й враг враждует:
с рыцарем;
с его другом;
с 1-м врагом.
3-й враг враждует:
с рыцарем;
с его другом.

по одному;
надевает каждому колпак белого или чёрного цветов.

Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят.

Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из двух цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казнённых.

Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

ведь его колпака не видит никто из мудрецов.
Но он может спасти всех остальных, сообщив им чётность числа белых колпаков, надетых на них (по договоренности он скажет "белый", если это число нечётно, и "чёрный" в противном случае).

Теперь мудрецы должны вычислять и называть цвета своих колпаков по порядку от предпоследнего к первому:
сначала предпоследний, видя колпаки впереди стоящих и зная чётность числа белых колпаков (среди колпаков впереди стоящих и своего), легко определит цвет своего колпака и назовёт его;
затем мудрец, стоящий перед ним, зная цвета всех тех же колпаков, кроме своего (передние он видит, а про задний только что услышал), по чётности может определить цвет своего колпака и назвать его.
Остается продолжать описанную процедуру до тех пор, пока первый мудрец не определит цвет своего колпака.
Ответ
Всем, кроме одного.

а буквой Н – нечётные.

набора 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100?

спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце игры – после того, как все спички будут разобраны, – окажется чётное число спичек. 
  а) Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы выиграть?
    б) Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?

Как он должен играть, чтобы выиграть?

а) Всегда будет выигрывать второй игрок.
Выигрышная стратегия для второго игрока. 1) всегда брать нечётное число спичек (одну или три);  2) оставлять начинающему число спичек, которое будет делиться без остатка на 4.
Нетрудно проверить, что это возможно. При этом после шести ходов второго игрока у него окажется чётное число спичек, а в кучке останется 0 или  1 спичка.

спичек?

б) Всегда будет выигрывать первый игрок.
Выигрышная стратегия для первого игрока.
1) первым ходом взять одну спичку;
2) после этого всегда брать нечётное число спичек (одну или три);  3) оставлять начинающему число спичек, которое будет делиться без остатка на 4.
При этом он сделает ровно 7 ходов, и у него окажется нечётное число спичек.

соседние цифры, если ни одна из них не равна 0, из каждой цифры вычитается по 1, и выбранные цифры меняются местами (например, из 123456789 можно за одну операцию получить 123436789). Какое наименьшее число может быть получено в результате таких операций?

на каждом месте.
В самом деле, вначале у нас было число 123456789, то есть число вида НЧНЧНЧНЧН (Н означает нечётную цифру, а Ч – чётную).
Если мы возьмём пару соседних цифр, скажем НЧ, то при уменьшении этих цифр на 1 получится пара ЧН, а при смене местами снова получится пара НЧ.
Итак, в процессе выполнения операций число все время будет иметь вид НЧНЧНЧНЧН.

Минимальным числом такого вида является число 101010101. 
Осталось показать, что число 101010101 получить можно.

Для этого достаточно в исходном числе 123456789 применить два раза нашу операцию к паре соседних цифр 2 и 3, четыре раза – к паре 4 и 5, шесть раз – операцию к паре 6 и 7 и наконец восемь раз – к паре 8 и 9.

что он имеет чётную длину (сторона клетки имеет длину 1).

все шаги вниз. Получим по 10 шагов.

Посчитаем все шаги влево и вправо.
Получим по 24 шага.

Значит, для любой произвольной замкнутой фигуры при прохождении пути шагов вверх должно быть столько же, сколько шагов вниз, а шагов вправо – столько же, сколько шагов влево.
Т. е. общее число шагов всегда будет четным.

10
шагов

10
шагов

24
шага

24
шага

со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой. 
Могут ли они вращаться?

против часовой стрелки, третья – по часовой, четвертая – против часовой и т. д.
Заметим, что все нечетные шестеренки вращаются в одном направлении, в нашем случае, по часовой стрелке, а все четные вращаются в обратном направлении.
Поэтому шестерёнки с номерами 1 и 11 должны вращаться в одном направлении.
С другой стороны, шестерёнки с номерами 1 и 11 – соседние, поэтому они должны вращаться в противоположных направлениях.

11

1

2

3

4

5

6

7

8

10

9

С.А., Ященко И.В."57 Московская математическая олимпиада. Сборник подготовительных задач", 1994;

Спивак А.В. "Математический праздник", Москва, МЦНМО, 1995.

http://www.problems.ru