Презентация, доклад по математике на тему: Олимпиадные задачи по теме Делимость натуральных чисел

1 квалификационной категории: Шпаде Алеся Валерьевна
МАОУ Школа № 38 г. Уфа

чисел, на которое делится каждое из данных чисел.
Наименьшее общее кратное двух или нескольких натуральных чисел – наименьшее, делящееся на каждое из них, положительное число.
Натуральный ряд – последовательность чисел 1, 2, 3, …, расположенных в порядке возрастания.
Простое число – натуральное число, большее единицы, но не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Делимость натуральных чисел

то это число четно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число нечетно.
Признаки делимости на 3.
Если сумма цифр в числе делится на 3, то и само число делится на 3. Если сумма цифр в числе не делится на 3, то и само число не делится на 3.

5, то это число делится без остатка на 5.
Признаки делимости на 4 и на 25.
Если запись натурального числа оканчивается двузначным числом, которое делится на 4 или на 25, то это число делится без остатка на 4 или на 25.
Признаки делимости на 9.
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9. Если сумма цифр в числе не делится, то и само число не делится на 9.
Признаки делимости на 11.
Найдем S1 – сумму цифр, стоящих на четных местах, и S2 – сумму цифр, стоящих на нечетных местах.
Если разность S1 – S2 делится на 11, то это число делится без остатка на 11.

кусков каждый. Некоторые из получившихся кусков на 5 частей и т. д.
Можно ли, продолжая эту операцию, получить 2008 листов?

РЕШЕНИЕ

четыре новых куска.
Всего количество кусков будет: 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + … .
Если посмотреть количество вновь появившихся кусков, то получаем, 2008 – 5 = 2003. Число 2003 не делится на 4, поэтому получить 2008 листов невозможно.
Ответ: невозможно.

разделить на 7, то делит на 7 частное и т. д. до тех пор, пока это возможно.
Сколько раз можно разделить на 7 число 100! = 1*2*…*100?

РЕШЕНИЕ

14, еще 49 и 98 делится на 49, то есть на 72.
Всего получаем 14 + 2 = 16.
Ответ: 16.

– натуральных.
НОК (a, b) = 1995, НОД (a, b) = 95. Числа a и b не делятся друг на друга. Найдите эти числа.

РЕШЕНИЕ

22, … , 210.
Всего 10 + 1 = 11 делителей.
Аналогично, число 510 тоже имеет 11 делителей.
Общее число делителей (10 + 1) ∙(10 + 1) = 121.
Ответ: 121.
4. 1) 1995 : 95 = 21, 1995 = 95 ∙3 ∙7.
2) a = k ∙95; b = k ∙95. Так как a и b не делятся друг на друга, то ни k, ни n не равны 1.
3) Так как НОК (a, b) = 1995, то a = 95 ∙3, b = 95 ∙7, a = 285, b = 665.
Ответ: 285 и 665.

на 2, но не делящиеся на 5, и все числа, делящиеся на 5, но не делящиеся на 2.
Сколько осталось чисел?

РЕШЕНИЕ

25 десятков. Получаем 25 ∙5 = 125.
Ещё остаются два числа: 251, 252. Из них вычёркивается число 252.
Всего осталось 25 ∙5 + 1 = 126 (чисел).
Ответ: 126 чисел.

Кузнечик прыгает по прямой каждый раз в одном из двух направлений, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

РЕШЕНИЕ

+ 2 = 3, где три – простое число.
Ответ: может.
7. Так как сумма ±1 ± 2 ± … ± 1985 содержит нечетное число нечетных слагаемых, то результат будет нечетным. Для того чтобы он оказался там, где начинал, нужно, чтобы эта сумма была равна нулю.