Слайд 1
Треугольник Паскаля
Бином Ньютона
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края
«Курганинский аграрно-технологический
техникум»
Из опыта работы преподавателя физики и математики
Ю.А. Спесивцевой
Слайд 2Повторение теоретического материала
Дайте определение числу возможных сочетаний из n элементов
по m элементов.
Назовите основные свойства числа сочетаний.
Решите задачу: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.
(Решение: Данные цифры - это множество, состоящее из 5 элементов. Составить двузначные числа - это значит найти все подмножества из двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их число посчитаем по формуле С = = = =10.)
Слайд 3Повторение теоретического материала
4.Прочитайте выражения: (х +2у)2, (а- b)3, (c - d)2,
(а+1)3, (с+3а)4, (х -2)5.
5.Что общего в заданных выражениях?
6. Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?
7.Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?
8. В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, от чего зависело количество подобных слагаемых?
Слайд 4Треугольник Паскаля.
На прошлом уроке мы с вами изучали перестановки и
размещения, сегодня мы остановимся на одном из самых замечательных применением формулы перестановок.
Числа имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение.
Такая запись называется треугольником Паскаля:
Слайд 5
ПАСКАЛЬ -французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Работы по
арифметике, теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятностей. В 1641г. сконструировал суммирующую машину.
1623-1662 г.г.
Блез Паскаль
Слайд 6Треугольник Паскаля.
Правило записи треугольника легко запомнить:
Каждое число в треугольнике паскаля
равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке.
Давайте распишем несколько строк:
Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так:
Слайд 8Бином Ньютона.
Как оказалось треугольник Паскаля находит свое применение и
в другой математической задаче. Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы.
Самое первое правило, которое мы с вами выучили это квадрат суммы:
Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов:
Проделаем эту же операцию и для четвертой степени:
Слайд 9Бином Ньютона.
Выпишем для наглядности все наши формулы:
Давайте проведем небольшой анализ
полученных формул.
Первое на что стоит обратить внимание, показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части, для любого слагаемого. Для четвертой степени, очевидно слева показатель равен четырем. В правой части показатель степени, при первом слагаемом, для а равен 4, для b равен 0, в сумме 4. Для второго слагаемого сумма показателей равна 3+1=4, для следующего 2+2=4, и так до самого конца сумма показателей равна 4.
Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части, ни чего не напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.
Слайд 10В теории многочленов часто двучлены называют биномами.
Слайд 11Бином Ньютона.
Полученная нами формула:
Называется Бином Ньютона.
Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми –
Биномиальные коэффициенты.
Слайд 13
НЬЮТОН - английский математик, механик, астроном и физик,
создатель классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики.
1643-1727 г.г.
Исаак Ньютон
Слайд 14
Число слагаемых на 1 больше степени бинома.
Коэффициенты находятся по треугольнику
Паскаля.
Коэффициенты симметричны.
Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.
Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.
Свойства бинома Ньютона
Слайд 15Бином Ньютона.
Пример. Раскрыть скобки: а) б)
Решение. Применим
нашу формулу:
а)
Вычислим все коэффициенты:
В итоге получаем:
б)
Слайд 19Рефлексия
• Сегодня на уроке я узнал(а) …
• Мне оказались непонятны следующие моменты …
• Мне
понравилось на уроке …
• Я понял(а), что надо еще раз посмотреть тему …
Слайд 20Заключение
Наш урок мне хочется закончить словами известного мудреца.
Когда-то давно жил
выдающийся арабский поэт – математик Омар Хайям:
...Мне мудрость не чужда была земная,
Разгадки тайн ища, не ведал сна я
За 70 перевалило мне,
Что ж я узнал! –
Что ничего не знаю.
Как вы думаете, что он этим хотел сказать?